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    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    （本小題滿分14分）
    已知函數(shù)。
    （1）證明：
    （2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
    （3）設數(shù)列滿足：，設，
    若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，
    試求的最大值。
    

			
    
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    （本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
    （Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；
    （Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.
    

			
    
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    （本小題滿分14分）設函數(shù)
     （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
     （2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
     （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。
    

			
    
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    （本小題滿分14分）
    已知，其中是自然常數(shù)，
    （1）討論時, 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
    （2）求證：在（1）的條件下，；
    （3）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
    

			
    
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    （本小題滿分14分）
    設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。
    （I）求數(shù)列的通項公式；
    （II）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；
    （III）設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。
    

			
    
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    說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．
          2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
          3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．
    4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．
     
    一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
    題號
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    A
    C
    B
    C
    B
    A
    D
    D
     
    二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.
    9．2         
10．79        
11．0 或 2       12．16，
    13．1        
14．3         
15．6
    三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
    16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力）
    解：（1）
              
      ．                

    ∵，
    ∴函數(shù)的值域為．                                      
    （2）∵，，∴，．
    ∵都為銳角，∴，． 
    ∴                    

                      

               
．

    ∴的值為．                                      

     
    17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
    解：（1）設,∵幾何體的體積為，
    ∴，                      

    即，
    即，解得．
    ∴的長為4．                                           

    （2）在線段上存在點，使直線與垂直．     

    以下給出兩種證明方法：
    方法1：過點作的垂線交于點，過點作  
    交于點．
    ∵，，，
    ∴平面．
    ∵平面，∴．
    ∵，∴平面．
    ∵平面，∴．      

    在矩形中，∵∽，
    ∴，即，∴．
    ∵∽，∴，即，∴．
    在中，∵，∴．
    由余弦定理，得
    ．
    ∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為． 
    方法2：以點為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，，，，   
    假設在線段上存在點≤≤2，，0≤≤
    使直線與垂直，過點作交于點．
      
    由∽，得，
    ∴．
    ∴． 
    ∴，．
    ∵，∴，
    即，∴．        
    此時點的坐標為，在線段上．
    ∵，∴．
    ∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為． 
    18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
    解：設等比數(shù)列的首項為，公比為， 
    若，，成等差數(shù)列， 
    則．
    ∴．
    ∵，，∴．
    解得或．             

    當時，∵，，，         

    ∴．
    ∴當時，，，不成等差數(shù)列． 
    當時，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．
    證法1：∵
                              
 
                              
 ，
    ∴．
    ∴當時，，，成等差數(shù)列． 
    證法2：∵，          

    又
                 
，  
    ∴．
    ∴當時，，，成等差數(shù)列．  
    19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復試驗等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
    解：（1）∵一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，                         
    任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有種選法， 
    ∴一次摸球中獎的概率．             

    （2）若，則一次摸球中獎的概率，                  

    三次摸球是獨立重復試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是
    ．                                    

    （3）設一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為，， 
    ∵，
    ∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．               
    ∴當時，取得最大值．
    ∵≥，
    解得．
    故當時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．                 

     
    20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
    （1）解法1：∵，其定義域為，   
    ∴．                

    ∵是函數(shù)的極值點，∴，即．                                         

    ∵，∴．                     
                         
    經(jīng)檢驗當時，是函數(shù)的極值點，
    ∴．　                                            

    解法2：∵，其定義域為，
    ∴．               

    令，即，整理，得．
    ∵，
    ∴的兩個實根（舍去），，
    當變化時，，的變化情況如下表：
    ―
    0
    ＋
    極小值
    依題意，，即，
    ∵，∴．                           

    （2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．                       

    當［1，］時，
		
    

    

    同步練習冊答案