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設f(x)=x³+x²+2ax，
（1）若f(x)在(，+∞)上存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當0＜a＜2時，f(x)在[1，4]上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值。

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一、選擇題：(本大題共12小題．每小題5分，共60分)

ABBBC    BDDCB  BA

二、填空題：(共4小題，每小題4分，共16分．)

13．17π  14．4  15．  (1．0)    16．24

三、解答題：(共6小題，共74分)

17．解：(1)∵f(x)=2cos²x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1，…………………2分

    ∴函數f(x)的最小正周期T=π．…………………………………………………4分

在[0, π]上單調遞增區(qū)間為[0, ]，[+]………6分

   （2）當x∈[0, ]時，∵f(x)遞增，∴當x=時，f(x)最大值為m+3=4，即m+3=4，

解得m=1∴m的值為1．………………………………………………………12分

18．（1）由題意，得  …………3分

0≤x≤50  …………6分

   （2）設該市第二、三產業(yè)的總產值增加f(x) (0<x≤5)萬元，則

f(x)=(100-x)(1+2x％)a-100a+1.2ax

=-�！�………10分

∵x∈(0，50]時，f(x)單調遞增，∴x=50時，f(x)_max=60a，

即應分流出50萬人才能使該市第二、三產業(yè)的總產值增加最多……………12分

19．（本小題12分）

解：（1） ∵M為AB中點，D為PB中點，

∴MD∥AP，又∴MD平面ABC   

∴DM ∥平面APC……………………3分   

   （2）∵ΔPMB為正三角形，且D為PB中點

∴MD⊥PB

又由(1) ∴知MD⊥AP, ∴AP⊥PB

又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC

∴BC⊥平面APC

∴平面ABC⊥平面APC     ………………8分

   （3）∵AB=20

∴MB=10  ∴PB=10

又BC=4，PC=

∴SΔBDC=ΔPBC=

    又MD=AP==5

∴V_D-BCM=V_M-BCD=S_ΔBDC----------------------12分

20．（本小題滿分12分）  ）

    解：（1）根據導數的幾何意義知f(x)=g′(x)=x²+ax-b

    由已知一2、4是方程x²+ax-b =0的兩個實根-

由韋達定理，,∴，f(x)= x²-2x-8-----------------------5分

   （2）g(x)在區(qū)間【-1.3】上是單調遞減函數，所以在【-1，3】區(qū)間上恒有

f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0，即f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0在【-1，3】恒成立，

    這只需要滿足即可，也即

而a²+b²可以視為平面區(qū)域內的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，所以當時，a²+b²有最小值13---------------------------------------12分

21．（本題滿分12分）

   （1）b_l=1,；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46：

可見：b₂-2 b_l=2；b₃-2 b₂=2；b₄-2 b₃=2；b₅-2 b₄=2

  猜測：b_n+1-2 b_n=2 (或b_n+1=2 b_n+2或b_n+1- b_n=3×2^n-1)……………………………4分

   （2）由（1） …………………………………………6分

    所以{b_n+2}，是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數列，

∴ b_n+2=3×2^n-1  ,即b_n =3×2^n-1-2。。-

(注：若考慮，且不討論n=1，扣1分)……………………………………8分

   （3）若數列{ b_n }中存在不同的三項b_p, b_{q ,} b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數列，不妨設p>q>r,顯然，{ b_n }是遞增數列，則2 b_q= b_p, + b_r------------------------------------------------------9分

即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2）,于是2×2^q-r=2^q-r+1------------10分

    由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2

∴等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立，故數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數列------------------------------------------------------------------------12分

22．（本小題滿分12分）

   （1）解：設橢圓C的方程為（a>b>0）,-------------------------------- 1分

拋物線方程化為x²=4y,其焦點為（0，1）------------------------------------------------------2分

則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1-----------------------------------3分

由，

所以橢圓C的標準方程為

（2）證明：易求出橢圓C的右焦點F(2,0),

設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,M（0,y₀）,顯然直線l的斜率存在

設直線l的方程為y=k(x-2)，代入方程+y²=1并整理,

得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0--------------------------------------------------------------9分

∴x₁+x₂=, x₁ x₂=--------------------------------------------------------10分

又，

即（x₁-0,y₁-y₀）=(2- x_1,- y₁),( x₂-0, y₂-y₀)= (2- x_2,- y₂)

∴，-------------------------------------------------------------12分

所以  ………………14分