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已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

長(zhǎng)沙市某民營(yíng)化工企業(yè)經(jīng)過(guò)近十年打拼，目前凈資產(chǎn)已達(dá)3千萬(wàn)元. 由于種種原因，影響了企業(yè)的進(jìn)一步發(fā)展，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)班子決定對(duì)企業(yè)內(nèi)部所有環(huán)節(jié)進(jìn)行改革. 據(jù)市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告顯示：在未來(lái)五年內(nèi)，若引進(jìn)新的技術(shù)及設(shè)備改造后，企業(yè)的生產(chǎn)總量為x千噸，最大限度不能超過(guò)4千噸，而每千噸銷(xiāo)售可獲純利P（x）與生產(chǎn)總量x的函數(shù)關(guān)系為 由于該企業(yè)的產(chǎn)品市場(chǎng)占有量較大，產(chǎn)量的大小對(duì)每千噸產(chǎn)品的純利潤(rùn)影響較大. 如果企業(yè)的生產(chǎn)總量為1千噸時(shí)，市場(chǎng)該產(chǎn)品每千噸銷(xiāo)售可獲純利萬(wàn)元，如果生產(chǎn)總量達(dá)到最大限度值4千噸，此時(shí)市場(chǎng)需求趨于飽和狀態(tài)，每千噸銷(xiāo)售只能獲純利萬(wàn)元.企業(yè)在人員工資給、產(chǎn)品廣告費(fèi)用及環(huán)境污染治理等方面需投入每千噸1萬(wàn)元.

（1）求出常數(shù)a，b的值；

（2）求出該企業(yè)在未來(lái)五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額（單位：千萬(wàn)元）關(guān)于生產(chǎn)總量x（單位：千噸）的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)生產(chǎn)總量x（單位：千噸）取值為多少時(shí)，該企業(yè)在未來(lái)五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額（單位：千萬(wàn)元）取最大值，并求出此最大值.

已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是

（A）(1－，2)     （B）(0，2)     （C）(－1，2)   （D）(0，1+)

【解析】    做出三角形的區(qū)域如圖，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最大，此時(shí)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線截距最小.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912420929634592/SYS201207091242163901965792_ST.files/image005.png">軸，所以,三角形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)，則，解得，，因?yàn)轫旤c(diǎn)C在第一象限，所以，即代入直線得，所以的取值范圍是，選A.

已知函數(shù)，其中.

  （1）若在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

  （2）討論函數(shù)在的單調(diào)性；

  （3）若函數(shù)在上的最小值為2，求的取值范圍.

【解析】第一問(wèn)，因在處取得極值

所以，，解得，此時(shí)，可得求曲線在點(diǎn)

處的切線方程為：

第二問(wèn)中，易得的分母大于零，

①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由可得，由解得

第三問(wèn)，當(dāng)時(shí)由（2）可知，在上處取得最小值，

當(dāng)時(shí)由（2）可知在處取得最小值，不符合題意.

綜上，函數(shù)在上的最小值為2時(shí)，求的取值范圍是