如圖：已知BB₁，CC₁是Rt△ABC所在平面同側(cè)的兩條相等的斜線段，它們與平面ABC所成的角均為60^°，且BB₁∥CC₁，線段BB₁的端點B₁在平面ABC的射影M恰是BC的中點，已知BC=2，∠ACB=90°
①求異面直線AB₁與BC₁所成的角．
②若二面角A-BB₁-C的大小為30°，求三棱錐C₁-ABC的體積．
③在②的條件下，求直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角正切值．

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如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，，，，點分別為的中點。

⑴求證：；
⑵求直線與平面所成的角的大小；
⑶求二面角的正切值。

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一、1―5    DCADC                      6―10   DCBCD          11―12  CA

二、13.                14.                  15. 140°    16.

三、17．解：

                          ………………………  8分

   ∵                ∴

∴                   ∴y的最小值為……………………  10分

18．解：設(shè)

則：      

∴           …………………………2分

∴……………………………4分

即：

∵        ∴

∵     且

∴

又

∴    …………………8分

       …………………10分

∴       …………………12分

19．（2分）    得 將或（4分）

當(dāng)即時，在上為增函數(shù)，不含題意（6分）

當(dāng)即時，在上為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，在（） 上為增函數(shù)   （8分）

∴當(dāng)時，當(dāng)時  （10分）

∴      解得：  （12分）

20．（1）略  （4分）

（2）解：過點C作于M      連DM

由（1）知：面ABC     ∴

∴是二面角D-AB-C的平面角（6分）

設(shè)CD=1  ∵

   ∴          ∵是正三角形

  ∴

∴

∴（8分）

（3）取AB、AD、BC中點分別為M、N、O

連AO、MO、NO、MN、OD

則

∴是AC與BD所成的角。（10分）

∵是正三角形且平面平面BCD

∴面BCD        是         ∴

又∵面ABC         ∴

在中，         

∴

∴直線AC和BD所成角為   （12分）

21．解：設(shè)

（1）若PQ軸時   

且       ∴      ∴

           ∴   （4分）

（2）若PQ不垂直x軸時，設(shè)

    代入得：

∵

∴

      =

      =   （8分）

∵    ∴      ∴

∴（10分）      ∴

∴ w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

綜上：（12分）

22．（1）取CD中點為K，連MK、NK

∴

∴面MNK//面ADD₁A

∴ MN//面ADD₁A₁   （4分）

（2）設(shè)F為AD中點，則PF面ABCD

作于H                    則       ∴為平面角

            ∴

∴

故二面角P-AE-D的大小為（8分）

（3）

D到面的距離為

∴（12分）

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