題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
|
組別 |
PM2.5（微克/立方米） |
頻數(shù)（天） |
頻 率 |
|
第一組 |
(0,15] |
4 |
0.1 |
|
第二組 |
(15,30] |
12 |
|
|
第三組 |
(30,45] |
8 |
0.2 |
|
第四組 |
(45,60] |
8 |
0.2 |
|
第五組 |
(60,75] |
|
0.1 |
|
第六組 |
(75,90) |
4 |
0.1 |
（Ⅰ）試確定
的值，并寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；
（Ⅱ）完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.
（Ⅲ）求出樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由.
本小題滿分12分)設(shè)a、b、c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別是a與b, b與c的等差中項(xiàng)。
（1）已知①a=1、b=2、c=4，試計(jì)算
的值；
②a=-1、b= 
、c="-" 
，試計(jì)算的值
（2）試推測(cè)與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。
（本小題滿分14分）已知數(shù)列
及函數(shù)f(x)=
,
,對(duì)于任意
均有
⑴試計(jì)算
的值.⑵若
,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.⑶試比較
與
的大小.
為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量
萬件與投入技術(shù)改革費(fèi)用
萬元（
）滿足
（
為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定收入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的
倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（Ⅰ）試確定的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤
萬元表示為技術(shù)改革費(fèi)用萬元的函數(shù)（利潤=銷售金額―生產(chǎn)成本―技術(shù)改革費(fèi)用）；
（Ⅱ）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？
一 、選擇題
１．C. 2．A. 3．A. 4．A. 5．A. 6．C. 7．A. 8．A. 9．C. 10．D. 11．C.12．D.
一、 填空題
13．
． 14．2． 15．16． 16．13．
三、解答題
17.（理科） （１）由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，得
tanA＋tanB＝1－tanAtanB，
即tan（A＋B）＝1.
∵A、B為△ABC內(nèi)角， ∴A＋B＝
. 則 C＝
（定值）.
（2）已知△ABC內(nèi)接于單位圓， ∴△ABC外接圓半徑R=1.
∴由正弦定理得：
，
，
.
則△ABC面積S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
．
∵ 0<B<， ∴
.
故 當(dāng)
時(shí)，△ABC面積S的最大值為
.
（文科） （1）
，
，
，
，∴ 
．
∴ 向量
和
的夾角
的大小為
．
（2）
．
以和為鄰邊的平行四邊形的面積
，
據(jù)此猜想，
的幾何意義是以
、
為鄰邊的平行四邊形的面積．
18. （１）學(xué)生甲恰好抽到3道歷史題，2道地理題的概率為
．
（２）若學(xué)生甲被評(píng)為良好，則他應(yīng)答對(duì)5道題或4道題
而答對(duì)4道題包括兩種情況：①答對(duì)3道歷史題和1道地理（錯(cuò)一道地理題）；②答對(duì)2道歷史題和2道地理題（錯(cuò)一道歷史題）。
設(shè)答對(duì)5道記作事件A；
答對(duì)3道歷史題，1道地理題記作事件B；
答對(duì)2道歷史題，2道地理題，記作事件C；
，
，
．
∴甲被評(píng)為良好的概率為：
．
19. （１）延長AC到G，使CG=AC，連結(jié)BG、DG，E是AB中點(diǎn)，
．
故直線BG和BD所成的銳角（或直角）就是CE和BD所成的角．
（２）設(shè)C到平面ABD的距離為h
20. （1）
．
(2) 由(1)知：
，故
在
是增函數(shù)．
又
對(duì)于一切
恒成立.
由定理知:存在
由(1)知: 
由
的一般性知：
．
21. （1）以
中點(diǎn)
為原點(diǎn)，所在直線為
軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則
．
 |
設(shè)
，由
得
，此即點(diǎn)
的軌跡方程.
（2）將
向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后，得到圓
，
依題意有
．
（3）不妨設(shè)點(diǎn)
在
的上方，并設(shè)
，則
，
所以
，由于
且
，
故
．
22.（理科）⑴ ∵f(x)+g(x)＝ax，∴f(－x)+ g(－x)＝a－x．
∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴－f(x)+g(x)＝a－x ．
∴f(x)＝
，g(x)＝
．
⑵
是R上的減函數(shù)，
∴y=f －1(x)也是R上的減函數(shù).
又
⑶
n>2,
當(dāng)
上是增函數(shù).
是減函數(shù)；
上是減函數(shù).是增函數(shù)．
（文科） （1）∵函數(shù)
在
和
時(shí)取得極值，∴－1，3是方程
的兩根，
∴
（2）
，當(dāng)x變化時(shí)，有下表
x
(-∞，-1)
-1
（-1，3）
3
（3，+∞）
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
Max
c+5
ㄋ
Min
c-27
ㄊ
而
時(shí)f(x)的最大值為c+54．
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．
當(dāng)c≥0時(shí)c+54<
當(dāng)c＜0時(shí)c+54<－
∴c∈（-∞，－18）∪（54，+∞）．
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