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如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且．

(1)求證：面平面；
(2)求二面角的余弦值．

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如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，
若、分別為、的中點.
(Ⅰ) //平面；(Ⅱ) 求證:平面平面；

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若點P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15. 解: (Ⅰ)因為,∴,則…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   則 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因為,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點的位置滿足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因為側面底面,,且,

所以,則…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因為,所以的面積為()………………………(2分)

   設正方形的邊長為,則由,得,

解得,則…………………………………………………………………(6分)

   所以,則 ………………(9分)

   (Ⅱ)因為,所以……………(13分)

   當且僅當時取等號,此時.所以當長為時,有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設圓心,則,解得…………………………………(3分)

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為………(5分)

(Ⅱ)設,則,且…………………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)…(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設,

,由,得 ………(11分)

  因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因為…………………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調函數(shù),則………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………………(9分)

 從而當時,,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因為,所以即為,

   令,從而問題轉化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數(shù)……………………………………………………………………(12分)

   因為,,所以

   ①當時,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………………………………(14分)

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意…………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內,并討論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即可得到相應的的個數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………………(12分)

則,

…………………………………………(14分)

則,當且僅當,即時等號成立……………(16分)

數(shù)學附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因為PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設,則有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因為且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標方程轉化為普通方程：……………………………………………(2分)

   可化為…………………………………………………………(5分)

在上任取一點A,則點A到直線的距離為

,它的最大值為4 ……………………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以OA、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，…(2分)

（Ⅰ）設平面PDB的法向量為,

  由,

   所以=…………………………………………………(5分)

  （Ⅱ）設平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角與互補,

所以二面角A―PB―D的余弦值為…………………………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)設袋中原有n個白球,由題意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4個白球……………………………………………………………(3分)

(Ⅱ)由題意,的可能取值為1，2，3，4………………………………………………………………(4分)

,

所以，取球次數(shù)的分布列為：

1

2

3

4

P

………(6分)

    …………………………………………………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因為甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，

則或 “=3”）,所以………………………(10分)