題目列表(包括答案和解析)
有一工業(yè)燒堿（含氯化鈉），現要求采用學過的定量實驗的方法測定此工業(yè)燒堿中氫氧化鈉的質量分數（假設各步實驗中試樣的損失忽略不計），請完成如下實驗報告。
實驗報告
（一） 實驗目的：工業(yè)燒堿中氫氧化鈉的質量分數測定
（二） 實驗原理：（寫出有關離子反應方程式）：_____________________________，
（三） 實驗試劑：工業(yè)燒堿、標準濃度的鹽酸、甲基橙。
（四） 實驗儀器：鐵架臺（成套）、天平、燒杯、錐形瓶、移液管、膠頭滴管、100ml量筒、 ________、_______。
（五） 按實驗順序填寫實驗步驟： （中和滴定法）
______、溶解、移液管量取一定體積的待測液于潔凈的錐形瓶中、__________、用標準鹽酸滴定至終點。
當滴定至溶液由______色變?yōu)開____色，且半分鐘不腿色時停止滴定。在相同條件下重復二次。
（六）數據處理及問題討論：
1、若要測定樣品中氫氧化鈉的質量分數，實驗中至少需要測定那些實驗數據？_______________________________________。
2、取a克樣品，配置100mL溶液，取20mL待測液，用C mol/L的標準鹽酸滴定至終點，消耗鹽酸VmL。試寫出樣品中氫氧化鈉的質量分數表達式為： 。
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2008年7月
【課前預習】
答案: 1、
; 2、B.【試題分析】令
，可求得：
。易知函數
的零點所在區(qū)間為
。
3、
; 4、-4。
四．典例解析
題型1：方程的根與函數零點
例1． 分析：利用函數零點的存在性定理或圖像進行判斷。
解析：（1）方法一：
∴
故
。
方法二：
令
解得
，
所以函數。
（2）∵
，
∴
。
（3）∵
，
，
∴
，故
在
存在零點。
評析：函數的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖像
例2． 解析：（1）方法一令
則根據選擇支可以求得
＜0；
＜0；
＞0.因為
＜0可得零點在(2，3)內選C
方法二：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標
，顯然在區(qū)間(1，3)內，由此可排除A，D
至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C
（2）原方程等價于
即
構造函數
和
，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：
①當
或
時，原方程有一解；
②當
時，原方程有兩解；
③當
或
時，原方程無解。
點評：圖象法求函數零點，考查學生的數形結合思想。本題是通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數形結合，要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數值，通過比較其大小進行判斷
題型2：零點存在性定理
例3．解析：（1）函數f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且
當x∈(－m,1－m)時,f ’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1－m)
當x∈(1－m, +∞)時,f ’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1－m)
根據函數極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且
對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m
故當整數m≤1時，f(x) ≥1－m≥0
(2)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1－m)=1-m<0,
函數f(x)=x－ln(x+m),在
上為連續(xù)減函數.
由所給定理知，存在唯一的
而當整數m>1時，
類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在
上為連續(xù)增函數且 f(1-m)與
異號，由所給定理知，存在唯一的
故當m>1時，方程f(x)=0在
內有兩個實根。
點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。
例4． 解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“
在區(qū)間
上滿足
，但其存在三個解
”推翻；同時選項A可通過反例“
在區(qū)間上滿足
，但其存在兩個解
”；選項D正確，見實例“
在區(qū)間上滿足，但其不存在實數解”。
點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。
題型3：二分法的概念
例5． 解析：如果函數在某區(qū)間滿足二分法題設，且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內一定存在零點，甚至有可能得到函數的精確零點。
點評：該題深入解析了二分法的思想方法。
例6．解析：由四舍五入的原則知道，當
時，精度達到
。此時差限
是0.0005，選項為C。
點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。
題型4：應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解
例7． 解析：原方程即
。令
，
用計算器做出如下對應值表
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
觀察上表，可知零點在（1，2）內
取區(qū)間中點
=1.5，且
，從而，可知零點在（1，1.5）內；
再取區(qū)間中點
=1.25，且
，從而，可知零點在（1.25，1.5）內；
同理取區(qū)間中點
=1.375，且
，從而，可知零點在（1.25，1.375）內；
由于區(qū)間（1.25，1.375）內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。
點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。
例8． 分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數？
略解：圖象在閉區(qū)間
，
上連續(xù)的單調函數
，在
，
上至多有一個零點。
點評：①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，，可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通�？纱_定一個長度為1的區(qū)間；
②建議列表樣式如下：
零點所在區(qū)間
中點函數值
區(qū)間長度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的優(yōu)勢：計算步數明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數的零點
例9． 分析：從二次方程的根分布看二次函數圖像特征，再根據圖像特征列出對應的不等式（組）。
解析：（1）設
，
由
，知
∴
，
∴
（2）令
∴
，
且
，∴
，∴
，
綜上，。
評析：二次方程、二次函數、二次不等式三者密不可分。
例10．解析：設
，則
的二根為和。
（1）由
及
，可得 
，即
，
即
兩式相加得
，所以，
；
（2）由
, 可得 
。
又
，所以
同號。
∴ 
，
等價于
或
,
即 
或
解之得 
或
。
點評：條件實際上給出了
的兩個實數根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。
【課外作業(yè)】
1． 答案:A，令
即可；
2． 答案:B;
3．答案:C，由
可得
關于
對稱，∴
,∴
∴
，∴
，∵，∴
。
4、 答案:D, ∵
,∴
∴
, ∴
5． 答案:C，先求出
，根據單調性求解；
五．思維總結
1．函數零點的求法：
①（代數法）求方程
的實數根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數
的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點。
2．解決二次函數的零點分布問題要善于結合圖像，從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數值的正負、二次函數圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數與方程、不等式聯(lián)系密切，聯(lián)系的方法就是數形結合。
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