如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問(wèn)利用線面平行的判定定理，，得到

第二問(wèn)中，利用，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921145879762728/SYS201206192116075476939219_ST.files/image018.png">，，從而得

第三問(wèn)中，借助于等體積法來(lái)求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點(diǎn)，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

某公園里有一造型別致的小屋，其墻面與水平面所成的角為θ，小屋有一扇面向正南的窗戶，現(xiàn)要在窗戶的上方搭建一個(gè)與水平面平行的遮陽(yáng)篷，如圖1所示．如圖2是遮陽(yáng)篷的截面示意圖，AB表示窗戶上、下邊框的距離，AB=m，CD表示遮陽(yáng)篷．已知該公園夏季正午太陽(yáng)最高這一天，太陽(yáng)光線與水平面所成角為α，冬季正午太陽(yáng)最低這一天，太陽(yáng)光線與水平面所成角為β（α＞β）．若要使得夏季正午太陽(yáng)最高這一天太陽(yáng)光線不從窗戶直射進(jìn)室內(nèi)，而冬季正午太陽(yáng)最低這一天太陽(yáng)光線又恰能最大限度地直射進(jìn)室內(nèi)，那么遮陽(yáng)篷的伸出長(zhǎng)度CD和遮陽(yáng)篷與窗戶上邊框的距離BC各為多少？