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（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成的角的大��；
（2）求側(cè)面A₁B與底面所成二面角的大小；
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離．
（乙）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B'-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成的角的大�。�
（2）求側(cè)面A₁B與底面所成二面角的大��；
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離．
（乙）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B'-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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1．A　2．B　3．D　4．C　5．B　6．D　7．C　8．A　9．B　10．C（文、理）　

11．B（文理）　12．C　13．-1　14．-2　15．①③④

16．①③④

　　17．設(shè)：該工人在第一季度完成任務(wù)的月數(shù)，：該工人在第一季度所得獎(jiǎng)金數(shù)，則與的分布列如下：

　　∴　

　　　　　　．

　　答：該工人在第一季度里所得獎(jiǎng)金的期望為153.75元．

　　18．（1）∵　　　∴　，且p＝1，或．

　　若是，且p＝1，則由．

　　∴　，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．

　　又，∴　．

　�。�2）∵　，，

　　∴　．

　　．

　　當(dāng)k≥2時(shí)，．　　∴　n≥3時(shí)有

　　　 ．

　　∴　對(duì)一切有：．

　�。�3）∵　，

　　∴　．　　．

　　故．

　　∴　．

　　又．

　　∴　．

　　故　．

　　19．（甲）（1）∵　側(cè)面底面ABC，　　∴　在平面ABC上的射影是AC．

　　與底面ABC所成的角為∠．

　　∵　，，　∴　∠＝45°．

　�。�2）作⊥AC于O，則⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連結(jié)，則，所以∠就是側(cè)面與底面ABC所成二面角的平面角．

　　在Rt△中，，，

　　∴　．　　60°．

　�。�3）設(shè)點(diǎn)C到側(cè)面的距離為x．

　　∵　，

　　∴　．（*）

　　∵　，，　　∴　．

　　又，∴　．

　　又．　∴　由（*）式，得．∴　

　�。ㄒ遥�（1）證明：如圖，以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

　　設(shè)AE＝BF＝x，則（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），

　　∴　（-x，a，-a），

　　（a，x-a，-a）．

　　∵　，

　　∴　．

　　（2）解：記BF＝x，BE＝y，則x＋y＝a，則三棱錐的體積為

　　．

　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，三棱錐的體積取得最大值時(shí)，．

　　過(guò)B作BD⊥BF交EF于D，連結(jié)，則．

　　∴　∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，　　∴　

　　在Rt△中，tan∠．故二面角的大小為．

　　20．∵　k＝0不符合題意，　∴　k≠0，作直線：

　　，則．

　　∴　滿足條件的

　　由消去x，得

　　，

　　．．（*）

　　設(shè)，、、，則　．

　　又．

　　∴　．

　　故AB的中點(diǎn)，．　∵　l過(guò)E，　∴　，即　．

　　代入（*）式，得

　　21．（1）．當(dāng)x≥2時(shí)，

　　　　 ．

　　∴　，且．

　　∵　．

　　∴　當(dāng)x＝12-x，即x＝6時(shí)，（萬(wàn)件）．故6月份該商品的需求量最大，最大需求量為萬(wàn)件．

　�。�2）依題意，對(duì)一切{1，2，…，12}有．

　　∴　（x＝1，2，…，12）．

　　∵　

　　∴　．　故　p≥1.14．故每個(gè)月至少投放1.14萬(wàn)件，可以保證每個(gè)月都保證供應(yīng)．

　　22．（1）按題意，得．

　　∴　　即　．

　　又

　　∴　關(guān)于x的方程．

　　在（2，＋∞）內(nèi)有二不等實(shí)根x＝、．關(guān)于x的二次方程

在（2，＋∞）內(nèi)有二異根、．

　　．

　　故　．

　�。�2）令，則

．

　　∴　．

　　（3）∵　，

　　∴　

　　　　　　　．

　　∵　，　　∴　當(dāng)（，4）時(shí)，；當(dāng)（4，）是．

　　又在[，]上連接，

　　∴　在[，4]上遞增，在[4，]上遞減．

　　故　．

　　∵　，

　　∴　0＜9a＜1．故M＞0．　若M≥1，則．

　　∴　，矛盾．故0＜M＜1．