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在2012年達(dá)州市高2013屆第一次診斷性考試中，某校高2013屆10班A、B兩數(shù)
學(xué)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，設(shè)A、B兩小組的平均數(shù)、方差和在區(qū)間[90，150]
上的頻率分別為

.

xA

、

σ

2 A

、p_A和

.

xB

、

σ

2 B

、p_B，則下面結(jié)論正確的是（　　）

A、 . xA = . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

B、 . xA = . xB ， σ 2 A ＜ σ 2 B ，pA=pB

C、 . xA ＞ . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

D、 . xA = . xB ， σ 2 A = σ 2 B ，pA＜pB

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某校在一次“診斷性”考試中，對(duì)該年級(jí)的1000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定125及其以上為優(yōu)秀．
（1）下表是這次考試成績(jī)的頻數(shù)人布表，求正整數(shù)a，b的值；

區(qū)間	人數(shù)
[115，120）	50
[120，125）	a
[125，130）	350
[130，135）	300
[135，140）	b

（2）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績(jī)進(jìn)行分析，求其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（3）在（2）中抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加座談會(huì)，記“其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數(shù)的值域?yàn)?sub>

18．解：（I）記“甲回答對(duì)這道題”、“乙回答對(duì)這道題”、“丙回答對(duì)這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點(diǎn)，連結(jié)又，

則，取的中點(diǎn)，連結(jié)則

為二面角的平面角

連結(jié)，在中，，

取的中點(diǎn)，連結(jié)，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

又因?yàn)?sub>

所以，平面

   （Ⅱ）設(shè)為平面的一個(gè)法向量。

由得

取，則又，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，，

得取取

設(shè)與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）定義域?yàn)?sub>

        時(shí)，時(shí)，

        故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

      在上有兩個(gè)相異實(shí)根

21．解：（I）由題意知：

              橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)

      切線的方程為：

      又由于點(diǎn)在上，則

             同理：

      則直線的方程：    則直線過定點(diǎn)（1，0）

（Ⅲ）就是A到直線PQ的距離d的

        取得等號(hào)

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式兩邊取倒樹，則

     上式兩邊取對(duì)數(shù)，則

解得

（Ⅲ）

由題中不等式解得，對(duì)于任意正整數(shù)均成立

注意到，構(gòu)造函數(shù)

則設(shè)函數(shù)

由對(duì)成立，得為上的減函數(shù)，

所以即對(duì)成立，因此為上的減函數(shù)，

即，故