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如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，則此時B、D的距離是 （　　）

A、2或 3

B、2或 2

C、2

D、1或 2

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如圖，設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，下列向量組：
①

AD

與

AB

；②

DA

與

BC

；
③

CA

與

DC

；④

OD

與

OB

．
其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是．

A、①②

B、③④

C、①③

D、①④

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如圖，已知空間四邊形ABCD中，

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則

EF

=

 

（用向量

a

，

b

，

c

表示）．

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如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿對角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求點C到平面ABD的距離；
（3）在BD上是否存在一點P，使CP⊥平面ABD，證明你的結論．

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如圖，已知半徑為r的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交點為P．

（1）若四邊形ABCD中的一條對角線AC的長度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當點P運動到什么位置時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對于之前小題的研究結論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設平面直角坐標系中，已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交于點P．試提出一個由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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一．選擇題

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

B

D

D

C

A

C

C

B

D

A

二填空題

13.；                14．－6 ；         15．；           16..

三．解答題

17．解：（Ⅰ）

………………………………………………………………4分

…………………………6分

（Ⅱ） …………………………………………………8分

∴ …………………………………………………………………………10分

………………………………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．

∴＝

．……………………………………………………………… 2分

則V＝．     ……………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，∴AF⊥PC．                …………………………5分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC．     …………………………7分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…………………………………………………………8分

（Ⅲ）以A為坐標原點，AD,AP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則平面PAD的法向量為：=（1，0，0）

由（Ⅱ）知AF⊥PC,AF⊥CD   ∴AF⊥平面PCD

∴為平面PCD的法向量.

∵P(0,0,2),C∴=

,即二面角C-PD-A的余弦值為…………12分

19．解：設第一個匣子里的三把鑰匙為A，B，C，第二個匣子里的三把鑰匙為a,b,c(設A,a能打開所有門，B只能打開第一道門，b只能打開第二道門，C,c不能打開任何一道門)

（Ⅰ）…………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分

(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分

(第一次拿A,第二次隨便拿，或第一次拿B，第二次拿a) …10分

                   …………………………12分

20.（Ⅰ）依題

即（ …………………………………………………3分

故為等差數(shù)列，a₁=1，d=2

………………………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）設公比為q，則由b₁b₂b₃=8，b_n>0…………………………………………………6分

又成等差數(shù)列

………………………………………………………………………………………8分

或…………………………………………………………………………………10分

或……………………………………………………………………12分

21解：（Ⅰ）依題PN為AM的中垂線

…………………………………………………………2分

又C（-1，0），A（1，0）

所以N的軌跡E為橢圓，C、A為其焦點…………………………………………………………4分

a=，c=1，所以為所求………………………………………………………5分

（Ⅱ）設直線的方程為：y=k（x-1）代入橢圓方程：x²+2y²=2得

（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0………………（1）

設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），則x₁，x₂是（1）的兩個根.

…………………………………………………………7分

依題

………………………………………………………9分

解得：………………………………………………………………………12分

22.解：（Ⅰ）

若，則

   即∴成等差數(shù)列……………………3分

（Ⅱ）依題意

∴切線

令得，即

∴切線過點.……………………………………………………………………………8分

（Ⅲ），則

   ∴

①時：

時，，此時為增函數(shù)；

時，，此時為減函數(shù)；

時，，此時為增函數(shù).

    而，依題意有    ………………10分

②時：在時，

∴  即……（☆）

記，則

∴為R上的增函數(shù)，而，∴時，

恒成立，（☆）無解.

綜上，為所求.…………………………………………………………………………14分