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已知是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，是等比數(shù)列，且，.

（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數(shù)學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

（14分）從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組、第二組；…第八組，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．

(1)估計這所學校高三年級全體男生身高180cm以上（含180cm）的人數(shù)；

(2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖；

(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為，求滿足的事件概率．

  從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高，據(jù)測量，被測同學身高全部介于155至195之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組；第二組；…；第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）估計這所學校高三年級全體男生身高在180以上（含180）的人數(shù)；

（2）求第六組、第七組的頻率并將頻率分布直方圖補充完整；

（3）計算該校男生的平均身高；

（4）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取2人，記他們的身高分別為，求滿足的事件的概率.

  從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高，據(jù)測量，被測同學身高全部介于155至195之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組；第二組；…；第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）估計這所學校高三年級全體男生身高在180以上（含180）的人數(shù)；

（2）求第六組、第七組的頻率并將頻率分布直方圖補充完整；

（3）計算該校男生的平均身高；

（4）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取2人，記他們的身高分別為，求滿足的事件的概率.