題目列表(包括答案和解析)
已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,
是等比數(shù)列,且
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列與
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,
,證明
(
).
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列
的公比為q.
由,得
,
,
.
由條件,得方程組,解得
所以,
,
.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時(shí),,
,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),有:
即,因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②,可知對(duì)任意,
成立.
設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在橢圓上且異于
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線與
的斜率之積為
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.
由條件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.
由P在橢圓上,有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
如圖,在三棱錐中,平面
平面
,
,
,
,
為
中點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)B到平面
的距離;(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
【解析】第一問(wèn)中利用因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">,為
中點(diǎn),所以
而平面平面
,所以
平面
,再由題設(shè)條件知道可以分別以
、
、
為
,
,
軸建立直角坐標(biāo)系得
,
,
,
,
,
,
故平面的法向量
而
,故點(diǎn)B到平面
的距離
第二問(wèn)中,由已知得平面的法向量
,平面
的法向量
故二面角的余弦值等于
解:(Ⅰ)因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">,為
中點(diǎn),所以
而平面平面
,所以
平面
,
再由題設(shè)條件知道可以分別以、
、
為
,
,
軸建立直角坐標(biāo)系,得
,
,
,
,
,
,故平面
的法向量
而,故點(diǎn)B到平面
的距離
(Ⅱ)由已知得平面的法向量
,平面
的法向量
故二面角的余弦值等于
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