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已知拋物線C：y=x2+4x+

2

7

，過C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．
（Ⅰ）若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-

1

2

，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，y_0^）；
（Ⅱ）設(shè)P（-2，a）為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請(qǐng)說明理由．

已知函數(shù)f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

；
（Ⅰ）證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）分別計(jì)算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）的對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明．

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在x軸上，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對(duì)應(yīng)的a的值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0＜p＜q＜

1

a

，證明：當(dāng)x∈（0，p）時(shí)，g（x）＜f（x）＜p-a．

A、-2

B、-1

C、1

D、4

已知函數(shù)f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（Ⅱ）求證：a=1時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在過點(diǎn)（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．