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．（本題滿分12分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn).
（1）求證：AB₁// 面BDC₁；
（2）求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）在側(cè)棱AA­₁上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論.

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（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知

AM

=

c

、

AN

=

d

，試用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．
（2）在△ABC中，若

AB

=

a

，

AC

=

b

若P，Q，S為線段BC的四等分點(diǎn)，試證：

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)；

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（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積．
（2）定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點(diǎn)，且P不在α內(nèi)，若直線AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過一定點(diǎn)．

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　　1．D　2．C　3．D　4．（理）D　（文）A　5．C　6．B　7．C　8．（理）C�。ㄎ模〢　9．（理）B�。ㄎ模〥　10．A　11．C　12．D

　　13．-2　14．6∶2∶　15．（文）7　（理）a≥3　16．（文）a≥3（理）1

　　17．解析：（1）．

　　解不等式．

　　得

　　∴　f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，．

　�。�2）∵　，]，　∴　．

　　∴　當(dāng)即時(shí)，．

　　∵　3＋a＝4，∴　a＝1，此時(shí)．

　　18．解析：由已知得，，．

　　∴　．

　　欲使夾角為鈍角，需．

　　得　．

　　設(shè)．

　　∴　^，∴　．

　　∴　，此時(shí)．

　　即時(shí)，向量與的夾角為p ．

　　∴　夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是（-7，）（，）．

　　19．解析：（甲）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)VG，CG．

　�。�1）∵　△ADV為正三角形，∴　VG⊥AD．

　　又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，

　　∴　VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．

　　設(shè)AD＝a，則，．

　　在Rt△GDC中，

　　．

　　在Rt△VGC中，．

　　∴　．

　　即VC與平面ABCD成30°．

　�。�2）連結(jié)GF，則．

　　而　．

　　在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．

　　連結(jié)VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．

　　在Rt△VFG中，．

　　∴　∠VFG＝45°．　二面角V-FC-B的度數(shù)為135°．

　�。�3）設(shè)B到平面VFC的距離為h，當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，即VG＝3．

　　此時(shí)，，，．

　　∴　，

　　　　．

　　∵　，

　　∴　．

　　∴　．

　　∴　　即B到面VCF的距離為．

　�。ㄒ遥┮�D為原點(diǎn)，DA、DC、所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．

　�。�1），，-a），，0，，

　　∵　，

　　∴　．

　　（2），a，），

　　∴　．

　　∴　．

　　∵　，∴　平面AEG．

　�。�3）由，a，），＝（a，a，），

　　∴　，．

　　20．解析：依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用．

　�。�1）設(shè)公寓投入使用后n年可償還全部貸款，則公寓每年收費(fèi)總額為1000×80（元）＝800000（元）＝80萬元，扣除18萬元，可償還貸款62萬元．

　　依題意有　…．

　　化簡(jiǎn)得．

　　∴　．

　　兩邊取對(duì)數(shù)整理得．∴　取n＝12（年）．

　　∴　到2014年底可全部還清貸款．

　�。�2）設(shè)每生和每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

　　依題意有…．

　　化簡(jiǎn)得．

　　∴　（元）

　　故每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為992元．

　　21．解析：（1），

　　而　，

　　∴　．

　　∴　{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．

　�。�2）依題意有，而，

　　∴　．

　　對(duì)于函數(shù)，在x＞3.5時(shí)，y＞0，，在（3.5，）上為減函數(shù)．

　　故當(dāng)n＝4時(shí)，取最大值3

　　而函數(shù)在x＜3.5時(shí)，y＜0，，在（，3.5）上也為減函數(shù)．

　　故當(dāng)n＝3時(shí)，取最小值，＝-1．

　　（3），，

　　∴　．

　　22．解析：（1）雙曲線C的右準(zhǔn)線l的方程為：x＝，兩條漸近線方程為：．

　　∴　兩交點(diǎn)坐標(biāo)為　，、，．

　　∵　△PFQ為等邊三角形，則有（如圖）．

　　∴　，即．

　　解得　，c＝2a．∴　．

　　（2）由（1）得雙曲線C的方程為把．

　　把代入得．

　　依題意　　∴　，且．

　　∴　雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長(zhǎng)為

　　∵　．

　　∴　．

　　整理得　．

　　∴　或．

　　∴　雙曲線C的方程為：或．

　�。ㄎ模�（1）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，＋2）（-3≤≤1），

　　則BC邊的垂直平分線為y＝＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ②

　　由①②消去，得．

　　∵　，∴　．

　　故所求的△ABC外心的軌跡方程為：．

　　（2）將代入得．

　　由及，得．

　　所以方程①在區(qū)間，2有兩個(gè)實(shí)根．

　　設(shè)，則方程③在，2上有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是：

　　之得．

　　∵　

　　∴　由弦長(zhǎng)公式，得

　　又原點(diǎn)到直線l的距離為，

　　∴　

　　∵　，∴　．

　　∴　當(dāng)，即時(shí)，．