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已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

已知是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（Ⅱ）若（a、q為常數(shù)，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（Ⅲ）若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中的一項，請證明.

【解析】第一問中，由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。

（2）中當時，則

即，其中是大于等于的整數(shù)

反之當時，其中是大于等于的整數(shù)，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)

（3）中設當為偶數(shù)時，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

當為偶數(shù)時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數(shù)時，

結合二項式定理得到結論。

解（1）由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。

（2）當時，則即，其中是大于等于的整數(shù)反之當時，其中是大于等于的整數(shù)，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)

（3）設當為偶數(shù)時，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

當為偶數(shù)時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數(shù)時，

   由，得

當為奇數(shù)時，此時，一定有和使上式一定成立。當為奇數(shù)時，命題都成立

 

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過點（2，0）的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當＜ 時，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，利用

第二問中，利用直線與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

 

 [番茄花園1] （本題滿分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設S為△ABC的面積，滿足。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值。

 (Ⅰ)解：由題意可知

absinC=,2abcosC.

所以tanC=.

因為0<C<，

所以C=.

（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)

                        =sinA+cosA+sinA=sin(A+)≤.

當△ABC為正三角形時取等號，

所以sinA+sinB的最大值是.

 

 

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 [番茄花園1]1.

汕頭二中擬建一座長米，寬米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔米（，為正常數(shù)）需打建一個樁位，每個樁位需花費萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的米墻面需花萬元，在不計地板和天花板的情況下，當為何值時，所需總費用最少？

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。先求需打個樁位．再求解墻面所需費用為：，最后表示總費用，利用導數(shù)判定單調性，求解最值。

解：由題意可知，需打個樁位． …………………2分

墻面所需費用為：，……4分

∴所需總費用（）…7分

令，則 

當時，；當時，．

∴當時，取極小值為．而在內極值點唯一，所以．∴當時，（萬元），即每隔3米打建一個樁位時，所需總費用最小為1170萬元．