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已知在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

已知在橢圓中，F(xiàn)₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線y2=4

6

x的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當(dāng)MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當(dāng)MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x