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已知二次函數(shù)y＝f(x)對任意x∈R滿足f(x－1)＝f(－x)，且圖像經(jīng)過點(－2，1)及坐標(biāo)原點．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}前n項和S_n＝f(n)，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；

(3)對(2)中a_n，設(shè)為數(shù)列{b_n}前n項和，試問：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得T₁＋T₂＋…＋T_n－1＝(T_n－1)g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由．