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    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    （本小題滿分12分）
    


    第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
    


                           男             女
    


                                   15   
7  7  8  9  9  9
    


    9  8   16   
0  0  1  2  4  5  8  9
    


    8  6  5 
0   17    2  5  6
    


    7  4  2 
1   18    0 
    


    1  0   19 
    


    若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．
    


    （1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應(yīng)分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？
    


    （2）從（1）中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
    


     
    

			
    
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    （本小題滿分13分）
    


    為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12. 
    


    


    (Ⅰ)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
    


    (Ⅱ)若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（Ⅲ）在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)、眾數(shù)各是是多少？（精確到0.1）
    


     
    

			
    
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    （本小題滿分12分）
    


    編號為的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：
    


    
 
    
  
  
    運動員編號
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    得分
    
      		
  
  
    15
    
      		
  
  
    35
    
      		
  
  
    21
    
      		
  
  
    28
    
      		
  
  
    25
    
      		
  
  
    36
    
      		
  
  
    18
    
      		
  
  
    34
    
      		
 
    
 
    
  
  
    運動員編號
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    得分
    
      		
  
  
    17
    
      		
  
  
    26
    
      		
  
  
    25
    
      		
  
  
    33
    
      		
  
  
    22
    
      		
  
  
    12
    
      		
  
  
    31
    
      		
  
  
    38
    
      		
 
    

    


    （Ⅰ）將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格；
    


    
 
    
  
  
    區(qū)間
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    人數(shù)
    
      		
  
  
     
    
      		
  
  
     
    
      		
  
  
     
    
      		
 
    

    


    （Ⅱ）從得分在區(qū)間內(nèi)的運動員中隨機(jī)抽取2人，
    


    （i）用運動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；
    


    （ii）求這2人得分之和大于50的概率．
    


     
    

			
    
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    （本小題滿分12分）
    


        編號分別為的16名籃球運動員在某次比賽中得分記錄如下；
    


    
 
    
  
  
    編號
    
      		
  
  
    A1
    
      		
  
  
    A2
    
      		
  
  
    A3
    
      		
  
  
    A4
    
      		
  
  
    A5
    
      		
  
  
    A6
    
      		
  
  
    A7
    
      		
  
  
    A8
    
      		
 
    
 
    
  
  
    得分
    
      		
  
  
    15
    
      		
  
  
    35
    
      		
  
  
    21
    
      		
  
  
    28
    
      		
  
  
    25
    
      		
  
  
    36
    
      		
  
  
    18
    
      		
  
  
    34
    
      		
 
    
 
    
  
  
    編號
    
      		
  
  
    A9
    
      		
  
  
    A10
    
      		
  
  
    A11
    
      		
  
  
    A12
    
      		
  
  
    A13
    
      		
  
  
    A14
    
      		
  
  
    A15
    
      		
  
  
    A16
    
      		
 
    
 
    
  
  
    得分
    
      		
  
  
    17
    
      		
  
  
    26
    
      		
  
  
    25
    
      		
  
  
    33
    
      		
  
  
    22
    
      		
  
  
    12
    
      		
  
  
    31
    
      		
  
  
    38
    
      		
 
    

    


    （Ⅰ）將得分在對應(yīng)區(qū)間的人數(shù)填入相應(yīng)的空格內(nèi)：
    


    
 
    
  
  
    區(qū)   間
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    人   數(shù)
    
      		
  
  
     
    
      		
  
  
     
    
      		
  
  
     
    
      		
 
    

    


    （Ⅱ）從得分在區(qū)間內(nèi)的運動員中隨機(jī)抽取2人.
    


    (1)用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果；
    


    (2)求這兩人得分之和大于50的概率.
    


     
    


     
    

			
    
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    （本小題滿分12分）
    第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
                           男             女
                                   15    7  7  8  9  9  9
     9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9
     8  6  5  0   17    2  5  6
     7  4  2  1   18    0 
     1  0   19 
    若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．
    （1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應(yīng)分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？
    （2）從（1）中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
    

			
    
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    一、填空題
    1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；
    6．；     
7．；   8．3；    9．．   10．
    11．；   12．；  13．；      14．．
    二、解答題
    15．解：（1）由得：
    ，
    由正弦定理知:  ，
    （2），
    由余弦定理知：
    16．解：（Ⅰ）證明：取的中點，連接
    因為是正三角形，
    所以
    又是正三棱柱，
    所以面，所以
    所以有面
    因為面
    所以；
    （Ⅱ）為的三等分點，．
    連結(jié)，，
    ∵ ，∴ ．
    ∴ ， ∴ 
    又∵面，面
    ∴ 平面
    17．解 （Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
    又由知，
    所以
       （Ⅱ） 當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．
    當(dāng)且時，由，得．
    又，所以T為線段F2Q的中點．
    在△QF1F2中，，所以有
    綜上所述，點T的軌跡C的方程是 
    （Ⅲ） C上存在點M（）使S=的充要條件是
    由③得，由④得  所以，當(dāng)時，存在點M，使S=；
    當(dāng)時，不存在滿足條件的點M．
    當(dāng)時，，
    由，
    ，
    ，得
    18．解：（1）（或）（）
    （2）
    當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時不等式取得等號
    所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．
    （3）解法1：由題意得不等式： 
    當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時，，代入整理得：，解得；
    當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時，，代入整理得：，解得
    又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
    解法2. 解方程，即得兩個根為
    由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，總費用超過8000元，所以V取得最小值  
    由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時，保護(hù)罩底面積最小， m2  
    又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
    19．解：（Ⅰ）令得 
    當(dāng)為增函數(shù)；
    當(dāng)為減函數(shù)，
    可知有極大值為 
    （Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
    設(shè)
    由（Ⅰ）知，，
    （Ⅲ），由上可知在上單調(diào)遞增，
      ①， 
     同理  ②
    兩式相加得
     
    20．解：（1）證明：因為
    所以即 
    可化為:
    當(dāng)且僅當(dāng)即時
    故  
    （2）因為
     =
     = 
    又由可知 =
    即 = 
    解之得  
    故得所以
    因此的通項公式為.. 
       （3）解：
    所以
    即S的最大值為
    三、附加題
    21A．（1）∵DE2=EF?EC，∴DE :
CE=EF: ED．
             
∵ÐDEF是公共角，
             
∴ΔDEF∽ΔCED． 
∴ÐEDF=ÐC．
             
∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．
             
∴ÐP=ÐEDF． 
    （2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，
         ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
        
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 
    21B．法一：特殊點法
    在直線上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分
    則?即得點  …………3 分
    即得點
    將和分別代入上得
    則矩陣 …………6 分
    則    
…………10 分
    法二：通法
    設(shè)為直線上任意一點其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分
    則…………3分
    代入得：
    其與完全一樣得
    則矩陣        
…………6分
    則          
…………10分
    21C．法一：將直線方程化為，    ………4分
    ，                      
………6分
    設(shè)動點P，M，則 ，    ………8分
    又 ，得；                       
………10分
    法二：以極點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系， 
    將直線方程化為，………………4分
    設(shè)P，M，，………6分
    又MPO三點共線，， …………8分
    轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．   ………10分
    21D．證明：  ∵a、b、c均為實數(shù)．
    ∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時等號成立； 
    （＋）≥≥，當(dāng)b=c時等號成立； 
    （＋）≥≥． 
    三個不等式相加即得++≥++，
    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立. 
    22．解：（I）以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
    則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
     cos<>． 
    由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是． 
    （II），，
    設(shè)平面ABE的法向量為，
    則由，，得
    取n＝（1，2，2），
    平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1）， 
    ．
    由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．
    23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，
    ，
    故的分布列為：
    6
    2
    1
    -2
    0.63
    0.25
    0.1
    0.02
     
    （2）
    （3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為
    依題意，，即，解得 所以三等品率最多為
     
    		
    
	
    
	
    
		
    


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