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如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組(每小組4人)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績的平均分相同．

(1)求a的值；

(2)求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差；

(3)分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

(溫馨提示：答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀卷首所給的計(jì)算公式及其說明．)

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形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤中(圖(1)是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖(2)是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖(3)是正六邊形，點(diǎn)P為其中心)各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．

(Ⅰ)一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？

(Ⅱ)用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤中（圖1是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖2是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖3是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤中（圖1是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖2是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖3是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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1～10：C C B C A    B A B D A

11、    12、    13、    14、>

15、   （提示：15.，又）

16.解：（1）

            ………3（分）

由=0即

即對(duì)稱中心為                        …………6（分）

（2）已知b²=ac

即的值域?yàn)?sub>綜上所述，，故值域?yàn)?sub>…12（分）

17．解：（1）的最大值為6，此時(shí)有或，故所求的概率為

.                                        …………5（分）

     （2）的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列為：

0

1

2

3

4

5

6

                                                                       ……………10（分）

                ……12（分）

18.解：（1）， 又

        …………5（分）

      （2）當(dāng)時(shí)，則

其表面積

當(dāng)與不垂直時(shí)，則，否則由（1）知，可得（矛盾）.

當(dāng)時(shí)，與不能垂直，否則

，從而，與矛盾.

，從而可得          …………①

由得，                …………②

根據(jù)①、②得：，從而導(dǎo)致矛盾.

，從而得到

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

，即四面體的各個(gè)面是全等的三角形.

其表面積為.                                           ……………12（分）

19.解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

                           …………（3分）

     （II）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁， n∈N*，從而由（*）式得

         因?yàn)?i>x₁>0，所以a>b.

      猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.         ……（6分）

     （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*， 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知0<x_n<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x_1，而x₁∈(0, 2)，所以

         由此猜測b的最大允許值是1.                                 ……………（10分）

         下證 當(dāng)x₁∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

        ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈(0, 2),則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因?yàn)?i>x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,所以x_k+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b最大允許值是1.…（13分）

20. 解：(1)設(shè)雙曲線方程為，由橢圓求得兩焦點(diǎn)為，

對(duì)于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

  解得 ，

雙曲線的方程為                                     ……………（5分）

(2)解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程：，則

在雙曲線上，

同理有：

若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.

是二次方程的兩根.

，

此時(shí).所求的坐標(biāo)為.                           …………（13分）

解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則.

，.

，，，

又，，即

將代入得

，否則與漸近線平行。。

.

21.（1）  

     故在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)     ……4（分）

（2）①

       是公差為1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為

       故                                 ……………9（分）

     ②由（1）知，當(dāng)時(shí)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，又，，即

       .

                                            ………13（分）