如圖，直二面角E-AB-C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=，△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一個動點．
（1）若PB=PF，求異面直線PC與AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小為30，求證：FB⊥平面PAC．

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如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PE-D的大小為45⁰？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

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如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PE-D的大小為45？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

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（2008•湖北模擬）如圖，直二面角E-AB-C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=2

3

，△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一個動點．
（1）若PB=PF，求異面直線PC與AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小為30⁰，求證：FB⊥平面PAC．

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當時，

∴當時，即時，是減函數(shù)

當時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當時，點的坐標是

設平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調區(qū)間是，…………………………8分

故或或

或或，或或

實數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設

由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當且僅當即時取等號.………………………………………………………………10分

設

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗知時，結論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當時，. ………………………………………………………14分