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一個圓環(huán)直徑為m，通過鐵絲BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圓上三等分點且BC長度大于0）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示。

（Ⅰ）設BC長為x（m），鐵絲總長為y（m），試寫出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當x取多長時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值。

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一個均勻的正四面體的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體下底面上的數(shù)字分別為x₁、x₂，設O為坐標原點，點P的坐標為（x₁-3，x₂-3），記．
（Ⅰ）分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數(shù)學期望．

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由一個小區(qū)歷年市場行情調查得知，某一種蔬菜在一年12個月內每月銷售量（單位：噸）與上市時間（單位：月）的關系大致如圖（1）所示的折線表示，銷售價格（單位：元／千克）與上市時間（單位：月）的大致關系如圖（2）所示的拋物線段表示（為頂點）．
（1）請分別寫出,關于的函數(shù)關系式，并求出在這一年內3到6月份的銷售額最大的月份？
（2）圖（1）中由四條線段所在直線圍成的平面區(qū)域為，動點在內（包括邊界），求的最大值；
(3) 由（2），將動點所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如類比為），試列出所滿足的條件，并求出相應的最大值．

                   

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空題（每小題5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答題

17、解：（Ⅰ）當時，有，又，所以 ……1分

當時，

           =

         所以，且當時，  ……3分

又，因此數(shù)列{}是以1為首項

且公差為2的等差數(shù)列，所以  ……2分

（Ⅱ）證明：（1）當時，，，關系成立 ……1分

 （2）假設當時，關系成立，即，則

   ……1分  那么

   ，即當時關系也成立

……3分  根據(jù)（1）和（2）知，關系式對任意N^*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，

，，  ……1分

設，則，，

即AM⊥BC，又因為，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因為，所以，得，

即，可得平面的一個法向量為=  ……3分

，設平面的一個法向量為，

則且，得，，令，得平面的一個法向量為=  ……3分設平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角為，

則  ……2分

19、解：（Ⅰ）隨機變量甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數(shù)X的分布列為：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔數(shù)X的期望為：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直線的方程為，于是，

得，，，所以橢圓的方程為  ……2分

（Ⅱ）設，由方程組得，

      所以有，，且，即 ……2分

            ……2分

     因為，所以，又，所以是線段的中點，

     點的坐標為，即的坐標是，因此

     直線的方程為，得點的坐標為（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以當，即時，取得最大值，最大值為 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，則，為R上的單調遞增函數(shù)；

若，的解為或，的解為，

此時在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減；

若，的解為或，的解為，

此時在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減……3分

（Ⅱ）當時，，，

因為，所以點（0，）不在曲線上，設過點的直線與曲線相切于點，則切線方程為，所以有及

，得……2分 令，

則，

令，得，，，可得在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減，所以在時取極大值，

在時取極小值，在時取極大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如圖，過點（0，）有且只有一條直線與曲線

相切等價于直線與曲線

有且只有一個交點，又當時，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）證明：因為AB為⊙O直徑，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因為D是弧的中點，由垂徑定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因為點O為AB的中點，所以點E為

BC的中點，所以OE＝AC  ……2分

（Ⅱ）證明：連結CD，因為PC是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因為D是弧的中點，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲線上的動點的坐標為（，），坐標原點（0，0），

     設P的坐標為（，），則由中點坐標公式得，，所以點P 的坐標為（，）……3分

      因此點的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

消去參數(shù)得點軌跡的直角坐標方程為 ……2分

（Ⅱ）由直角坐標與極坐標關系得直線的直角坐標方程為

  ……2分 又由（Ⅰ）知點的軌跡為圓心在原點半徑為2的圓，

因為原點（0，0）到直線的距離為

所以點到直線距離的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由題意得，即  得 ……2分

     因為 

所以的取值范圍是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因為對于，由絕對值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范圍是  ……2分