在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求A₁A的長(zhǎng)；
（2）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（2）若線段AC與BD交于點(diǎn)E，求證：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，指出線段C₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D，且這個(gè)幾何體的體積為。

（1）求A₁A的長(zhǎng)；
（2）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

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在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為．
（1）求A₁A的長(zhǎng)；
（2）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空題（每小題5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答題

17、解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，又，所以 ……1分

當(dāng)時(shí)，

           =

         所以，且當(dāng)時(shí)，  ……3分

又，因此數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)

且公差為2的等差數(shù)列，所以  ……2分

（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)時(shí)，，，關(guān)系成立 ……1分

 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，關(guān)系成立，即，則

   ……1分  那么

   ，即當(dāng)時(shí)關(guān)系也成立

……3分  根據(jù)（1）和（2）知，關(guān)系式對(duì)任意N^*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，，  ……1分

設(shè)，則，，

即AM⊥BC，又因?yàn)?sub>，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因?yàn)?sub>，所以，得，

即，可得平面的一個(gè)法向量為=  ……3分

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則且，得，，令，得平面的一個(gè)法向量為=  ……3分設(shè)平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角為，

則  ……2分

19、解：（Ⅰ）隨機(jī)變量甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)X的分布列為：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔數(shù)X的期望為：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直線的方程為，于是，

得，，，所以橢圓的方程為  ……2分

（Ⅱ）設(shè)，由方程組得，

      所以有，，且，即 ……2分

            ……2分

     因?yàn)?sub>，所以，又，所以是線段的中點(diǎn)，

     點(diǎn)的坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)是，因此

     直線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，則，為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；

若，的解為或，的解為，

此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；

若，的解為或，的解為，

此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減……3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，

因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)（0，）不在曲線上，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，所以有及

，得……2分 令，

則，

令，得，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在時(shí)取極大值，

在時(shí)取極小值，在時(shí)取極大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如圖，過點(diǎn)（0，）有且只有一條直線與曲線

相切等價(jià)于直線與曲線

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B為⊙O直徑，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因?yàn)镈是弧的中點(diǎn)，由垂徑定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為

BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E＝AC  ……2分

（Ⅱ）證明：連結(jié)CD，因?yàn)镻C是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因?yàn)镈是弧的中點(diǎn)，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），

     設(shè)P的坐標(biāo)為（，），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，所以點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（，）……3分

      因此點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

消去參數(shù)得點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為 ……2分

（Ⅱ）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系得直線的直角坐標(biāo)方程為

  ……2分 又由（Ⅰ）知點(diǎn)的軌跡為圓心在原點(diǎn)半徑為2的圓，

因?yàn)樵�點(diǎn)（0，0）到直線的距離為

所以點(diǎn)到直線距離的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由題意得，即  得 ……2分

     因?yàn)?sub> 

所以的取值范圍是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因?yàn)閷?duì)于，由絕對(duì)值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范圍是  ……2分