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（本小題滿分12分）
某菜園要將一批蔬菜用汽車(chē)從所在城市甲運(yùn)至亞運(yùn)村乙,已知從城市甲到亞運(yùn)村乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由菜園承擔(dān).
若菜園恰能在約定日期(月日)將蔬菜送到,則亞運(yùn)村銷(xiāo)售商一次性支付給菜園20萬(wàn)元; 若在約定日期前送到,每提前一天銷(xiāo)售商將多支付給菜園1萬(wàn)元; 若在約定日期后送到,每遲到一天銷(xiāo)售商將少支付給菜園1萬(wàn)元.
為保證蔬菜新鮮度,汽車(chē)只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送蔬菜,已知下表內(nèi)的信息：

統(tǒng)計(jì)信息 汽車(chē)行 駛路線	不堵車(chē)的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需時(shí)間   (天)	堵車(chē)的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需時(shí)間   (天)	堵車(chē)的 概率	運(yùn)費(fèi) (萬(wàn)元)
公路1	2	3
公路2	1	4

 
(注:毛利潤(rùn)銷(xiāo)售商支付給菜園的費(fèi)用運(yùn)費(fèi))
(Ⅰ) 記汽車(chē)走公路1時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)為(單位:萬(wàn)元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ) 假設(shè)你是菜園的決策者,你選擇哪條公路運(yùn)送蔬菜有可能讓菜園獲得的毛利潤(rùn)更多?

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

BBDD  CABC  BCDB

二、填空題：本大題共4小 題，每小題4分，共16分。

13．8500

14．

15．

16．①③

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：（I）依題意，

       由正弦定理及   3分

          6分

   （II）由

       由（舍去負(fù)值）   8分

       從而，   9分

       由余弦定理，得

       代入數(shù)值，得

       解得   12分

18．解：（I）隨意抽取4件產(chǎn)品進(jìn)行檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品，

第一天通過(guò)檢查的概率為錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無(wú)效。    2分

第二天通過(guò)檢查的概率為 錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無(wú)效。   4分

因?yàn)榈谝惶�、第二天檢查是否通過(guò)是相互獨(dú)立的，

所以兩天全部通過(guò)檢查的概率為錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無(wú)效。   6分

   （II）記所得獎(jiǎng)金為元，則的取值為-300，300，900   7分

          10分

       （元）   12分

19．解：（I）如圖，以AB，AC，AA₁分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

       則   2分

       從而

       所以   3分

   （II）平面ABC的一個(gè)法向量為

       則

       （※）   5分

       而

       由（※）式，當(dāng)   6分

   （III）平面ABC的一個(gè)法向量為

       設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為

       由（I）得

       由   7分

       解得   9分

       平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

       解得   11分

       故點(diǎn)P在B₁A₁的延長(zhǎng)線上，且   12分

20．（本小題滿發(fā)12分）

       解：（I）由題設(shè)知   1分

       同時(shí)

       兩式作差得

       所以

       可見(jiàn)，數(shù)列

          4分

   （II）   5分

           7分

   （III）

          9分

    ①當(dāng)

       解得符合題意，此時(shí)不存在符合題意的M。   10分

       ②當(dāng)

       解得此時(shí)存在的符合題意的M=8。   11分

       綜上所述，當(dāng)時(shí)，存在M=8符合題意   12分

21．解：（I）因?yàn)?sub>

       所以

       因?yàn)?sub>上是增函數(shù)。

       所以上恒成立     1分

       當(dāng)

       而上的最小值是-1。

       于是（※）

    可見(jiàn)

       從而由（※）式即得   ①   4分

       同時(shí)，

       由

       解得②，

       或

       由①②得

       此時(shí)，即為所求    6分

       注：沒(méi)有提到（驗(yàn)證）時(shí)，不扣分。

   （II）由（I），

       于是   7分

       以下證明（☆）

   （☆）等價(jià)于   8分

       構(gòu)造函數(shù)

       則時(shí)，

       上為增函數(shù)。

       因此當(dāng)

       即

       從而得到證明。    11分

       同理可證   12分

       注：沒(méi)有“綜上”等字眼的結(jié)論，扣1分。

22．（I）設(shè)得

       即    2分

       由

       則

       所以（※）   4分

       又因?yàn)?sub>

       則

       代入（※）式得

       可見(jiàn)，無(wú)關(guān)。    6分

   （II）如圖，設(shè)

       由（I）知   7分

    又

       所以   8分

       將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入曲線C₁的方程得

       則  10分

       當(dāng)且僅當(dāng)“=”成立時(shí)，有   11分

       解得   14分