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				(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.     得 分評(píng)卷人			【查看更多】
			


		
     
    


		
    
		
    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    已知函數(shù)．
    


    （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
    


    （Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
    


    【解析】第一問(wèn)利用的定義域是     
    


    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
    


    故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是
    


    第二問(wèn)中，若對(duì)任意不等式恒成立，問(wèn)題等價(jià)于只需研究最值即可。
    


    解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分
    


                  ．．．．．．．．．．．．． 2分
    


    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
    


    故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分
    


    （II）若對(duì)任意不等式恒成立，
    


    問(wèn)題等價(jià)于，                  
．．．．．．．．．5分
    


    由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，
    


    故也是最小值點(diǎn)，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分
    


    


    當(dāng)b<1時(shí)，；
    


    當(dāng)時(shí)，；
    


    當(dāng)b>2時(shí)，；            
．．．．．．．．．．．．8分
    


    問(wèn)題等價(jià)于 ．．．．．．．．11分
    


    解得b<1 或 或    即，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是  
    


     
    

			
    
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    已知函數(shù)，.
    


    （Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；
    


    （Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式
恒成立.求正整數(shù)的最大值.
    


    【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來(lái)分析求解。
    


    第二問(wèn)中，利用存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
    


    解：（1）
    


    ①
    


    


    （2）不等式 ，即，即.
    


    轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立.
    


    即不等式在上恒成立.
    


    即不等式在上恒成立.
    


    設(shè)，則.
    


    設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有.
    


    故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
    


    故存在，使得.
    


    當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.
    


    從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.
    


    又[來(lái)源:]
    


    


    所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；
    


    故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
    


     
    

			
    
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    （本小題滿(mǎn)分14分）
    設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)
    （Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論 與 的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得 對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。
    

			
    
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    已知函數(shù)，．
    


    （Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
    


    （Ⅱ）若方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的值．
    


    【解析】第一問(wèn)，   
    


    當(dāng)0<x<2時(shí)，，當(dāng)x>2時(shí)，，
    


    要使在(a,a+1)上遞增，必須
    


    如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
    


    由上得出，當(dāng)時(shí)，在上均為增函數(shù)
    


    （Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解
    


    設(shè)  （x>0）
    


    隨x變化如下表
    


    
 
    
  
  
    x
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    
      		
  
  
    -
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    +
    
      		
 
    
 
    
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    極小值
    
      		
  
  
    
      		
 
    

    


    由于在上，只有一個(gè)極小值，的最小值為-24-16ln2，
    


    當(dāng)m=-24-16ln2時(shí)，方程有唯一解得到結(jié)論。
    


    （Ⅰ）解：  
    


    當(dāng)0<x<2時(shí)，，當(dāng)x>2時(shí)，，
    


    要使在(a,a+1)上遞增，必須
    


    如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
    


    由上得出，當(dāng)時(shí)，在上均為增函數(shù)  ……………6分
    


    （Ⅱ）方程有唯一解有唯一解
    


    設(shè)  （x>0）
    


    隨x變化如下表
    


    
 
    
  
  
    x
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    
      		
 
    
 
    
  
  
    
      		
  
  
    -
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    +
    
      		
 
    
 
    
  
  
    
      		
  
  
    
      		
  
  
    極小值
    
      		
  
  
    
      		
 
    

    


    由于在上，只有一個(gè)極小值，的最小值為-24-16ln2，
    


    當(dāng)m=-24-16ln2時(shí)，方程有唯一解
    


     
    

			
    
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    （本題滿(mǎn)分14分）
      
       已知函數(shù)。
      
       （1）求的最大值及取得最大值時(shí)的的值；
      
       （2）求在上的單調(diào)增區(qū)間。
    

			
    
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    一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。
    題號(hào)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    B
    A
    B
    D
    C
    D
    C
    B
    二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分
    9．60   10. 4    11.    12. 2    13.與 或 與  14. -2；1
    三、解答題： 本大題共6個(gè)小題，共80分。
    15. （本小題共13分）已知函數(shù)
    （Ⅰ）求函數(shù)的定義域；   （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。
    解：（Ⅰ）由題意                  
    所求定義域?yàn)?nbsp; {}                     
       …………4分
    （Ⅱ）
                      
        …………9分
    由   知   ， 
    所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；          
        …………11分
    當(dāng)時(shí)，取得最小值為0 。             
     …………13分
    16.（本小題共13分）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）在數(shù)列中，，，求的值
    解：（Ⅰ）     由題意    得    ，   …………6分
    又  所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列  所以   …………8分
    （Ⅱ）
因?yàn)?nbsp;  ，                
…………10分
    所以    ，，，……，
    疊加得           把代入得   =       …………13分
    17. （本小題共14分）
    如圖，在正三棱柱中，,是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。
    （Ⅰ）求所成角的正弦值；                

    （Ⅱ）證明；(Ⅲ) 求二面角的大小.
    解：（Ⅰ）在正三棱柱中，    
    ，又是正△ABC邊的中點(diǎn)，
    ，         

    ∠為所成角
    又     sin∠=                         
…………5分
    （Ⅱ）證明:  依題意得   ，， 
     因?yàn)?sub>    由（Ⅰ）知， 而，
    所以              所以                    
…………9分
    (Ⅲ) 過(guò)C作于，作于，連接
      ，   …………11分   
    又      是所求二面角的平面角
    ，       
    二面角的大小為                               
…………14分
    18. （本小題共13分）
    某校高二年級(jí)開(kāi)設(shè)《幾何證明選講》及《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》兩個(gè)模塊的選修科目。每名學(xué)生可以選擇參加一門(mén)選修，參加兩門(mén)選修或不參加選修。已知有60%的學(xué)生參加過(guò)《幾何證明選講》的選修，有75%的學(xué)生參加過(guò)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修，假設(shè)每個(gè)人對(duì)選修科目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響。
    (Ⅰ)任選一名學(xué)生，求該生參加過(guò)模塊選修的概率；
    (Ⅱ)任選3名學(xué)生，記為3人中參加過(guò)模塊選修的人數(shù)，求的分布列和期望。
    解：(Ⅰ)設(shè)該生參加過(guò)《幾何證明選講》的選修為事件A，
    參加過(guò)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修為事件B， 該生參加過(guò)模塊選修的概率為P，
    則
    則 該生參加過(guò)模塊選修的概率為0.9                         
       …………6分
    （另：）
    (Ⅱ) 可能取值0，1，2，3 
        =0.001，=0.027
    =0.243，   =0.729            
…………10分
    0
    1
    2
    3
    0.001
    0.027
    0.243
    0.729
    的分布列為
                                               
…………13分
    19. （本小題共13分）
               已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q，設(shè)＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。
    解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知
    ||=    
化簡(jiǎn)得的方程為               
…………3分
    （另：由知曲線是以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線
        所以  ，        
則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為）
    (Ⅱ)設(shè)，由＝  知        ①
    又由在曲線上知  ②
    由  ①  ②       解得    所以
有           …………8分
    ===    
…………10分
    設(shè)    有 在區(qū)間上是增函數(shù)，
    得，進(jìn)而有 ，所以的取值范圍是 ……13分
    20. （本小題共14分）
         函 數(shù)  是 定 義 在R上 的 偶 函 數(shù)，且時(shí)，
    ，記函數(shù)的圖像在處的切線為，。
    (Ⅰ) 求在上的解析式；
    (Ⅱ) 點(diǎn)列在上，
    依次為x軸上的點(diǎn)，
    如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)構(gòu)成以為底邊
    的等腰三角形。若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
    (Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，寫(xiě)出的一個(gè)值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
    解：(Ⅰ) 函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且
    ；是周期為2的函數(shù)        
…………1分
      
    由 可知=-4       ，            
…………4分
    (Ⅱ) 函數(shù)的圖像在處的切線為，且，
    切線過(guò)點(diǎn)且斜率為1，切線的方程為y=x+1               
…………6分
    在上，有        即
    點(diǎn)構(gòu)成以為底邊的等腰三角形… ①
    同理… ②     兩式相減 得          
                                      
…………11分
    (Ⅲ) 假設(shè)是等差數(shù)列 ，則                  …………14分
    故存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列
     
    		
    
	
    
	
    
		
    


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