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已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，上、下頂點分別為A₁，A₂，橢圓上的點到上焦點F₁的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）以原點為頂點，F₁為焦點的拋物線上的點P（非原點）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在過點（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點（A、B不是上、下頂點）且滿足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

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                   高三數學試卷（理科）                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

C

D

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9.      10. 10，243      11.    12.       13. 24    14.   

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.    -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0,                           ----------------------------6分

每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

； ；

 所以，的分布列為：

2

0

P

---------------------------10分

的數學期望.                       ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由三角函數的定義，得點B的坐標為.      ---------------------------1分

在中，|OB|=2，，

由正弦定理，得，即，

所以 .                               ---------------------------5分

注：僅寫出正弦定理，得3分. 若用直線AB方程求得也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， ------------------7分

因為，

所以，                             ----------------------------9分

又

，                                    ---------------------------11分

        所以.                      ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

 解：由（Ⅰ）知，

又，

平面，                                      ---------------------------5分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內的射影，

，

又

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

.      ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       ---------------------------9分

  方法二：

       解：如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

       則,            ---------------------------5分

過C作于M，連接BM，設，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                         --------------------------9分

（Ⅲ）解：設點B到平面PAD的距離為h，               

       ，，

       平面ABCD，，

       ，

       在直角梯形ABCD中，，

       .

       在中，，，

        ，

        ，

           的面積，                  ---------------------------10分

       三棱錐B-PAD的體積，

，                             ---------------------------12分

即，解得，

       點B到平面PAD的距離為.                          ---------------------------14分                       

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：函數的定義域為，                      ---------------------------1分

           .                                       ---------------------------4分

      因為，所以.                                ---------------------------5分

（Ⅱ）解：當時，因為，

              所以，故在上是減函數；        ------------------------7分

         當a=0時，當時，，故在上是減函數，

               當時，，故在上是減函數，

               因為函數在上連續(xù)，

               所以在上是減函數；                  ---------------------------9分

      當0<a<1時，由, 得x=，或x=. --------------------------10分

            x變化時，的變化如情況下表：

0

+

0

極小值

極大值

        所以在上為減函數、在上為減函數；在上為增函數.                                                ------------------------13分

 綜上，當時，在上是減函數；

 當0<a<1時，在上為減函數、在上為減函數；在上為增函數.                                      ------------------------14分

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設A(x₁, y₁)，

因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，

所以，                                            ---------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上

所以，即，解得，

則點A的坐標為或，                       -------------------------3分

所以直線l的方程為或.  --------------------------5分

   （Ⅱ）解：設直線AB的方程為或，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，，

當AB的方程為時，，與題意不符.        --------------------------6分

當AB的方程為時：

    由題設可得A、B的坐標是方程組的解，

    消去y得，

    所以即，                    

    則，

                                                       ---------------------------8分

    因為 ，

    所以，解得，

    所以.                                      --------------------------10分

因為，即，

    所以當時，由，得，

上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在；      --------------------11分

當時，，，

        因為點在橢圓上，

        所以，             -------------------------12分

        化簡得，

        因為，所以，

        則.                           

綜上，實數的取值范圍為.             ---------------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意，創(chuàng)新數列為3,4,4,5,5的數列有兩個，即：

（1）數列3，4，1，5，2；                           ---------------------------2分

（2）數列3，4，2，5，1.                            ---------------------------3分

         注：寫出一個得2分，兩個寫全得3分.

（Ⅱ）答：存在數列，它的創(chuàng)新數列為等差數列.

解：設數列的創(chuàng)新數列為，

因為為中的最大值.

所以.

由題意知：為中最大值，為中最大值，

     所以，且.                       

若為等差數列，設其公差為d，則，且N，    -----------------5分

     當d=0時，為常數列，又，

           所以數列為，此時數列是首項為m的任意一個符合條件的數列；

      當d=1時，因為，

所以數列為，此時數列是；  --------------------7分

      當時，因為，

           又，所以，

這與矛盾，所以此時不存在，即不存在使得它的創(chuàng)新數列為的等差數列.

綜上，當數列為：（1）首項為m的任意符合條件的數列；（2）數列時，它的創(chuàng)新數列為等差數列.