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如圖，在二面角α-l-β的棱l上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2

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，則二面角α-l-β的大小為．

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、AD的中點，

（1）A₁C₁與B₁C所成角的大小是________；（2）A₁C₁與EF所成角的大小是________；

（3）A₁C與AD₁所成角的大小是________；（4）AD₁與EF所成角的大小是________；

（5）BD₁與CE所成角的大小是________；（6）B₁C與平面ABCD所成角的大小是________；

（7）BD₁與平面DCC₁D₁所成角的大小是________；（8）二面角A₁-BC-D的大小是________；

（9）二面角B-A₁C₁-B₁的大小是________；（10）二面角C₁-EF-C的大小是________．

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、AD的中點，

（1）A₁C₁與B₁C所成角的大小是________；（2）A₁C₁與EF所成角的大小是________；

（3）A₁C與AD₁所成角的大小是________；（4）AD₁與EF所成角的大小是________；

（5）BD₁與CE所成角的大小是________；（6）B₁C與平面ABCD所成角的大小是________；

（7）BD₁與平面DCC₁D₁所成角的大小是________；（8）二面角A₁-BC-D的大小是________；

（9）二面角B-A₁C₁-B₁的大小是________；（10）二面角C₁-EF-C的大小是________．

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點, 若.

（1）求的長；  （2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為