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已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線過點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．試探討k為何值時(shí)，三角形OAB為直角三角形．

若斜率為k的兩條平行直線l，m經(jīng)過曲線C的端點(diǎn)或與曲線C相切，且曲線C上的所有點(diǎn)都在l，m之間（也可在直線l，m上），則把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．
（1）若曲線C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲線C：y=x³-x（-1≤x≤2），求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式d（k）．

（2009•越秀區(qū)模擬）已知一動(dòng)圓P（圓心為P）經(jīng)過定點(diǎn)Q（

2

，0），并且與定圓C：(x+

2

)2+y2=16（圓心為C）相切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心M，交動(dòng)圓圓心P的軌跡于A、B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，2

2

)，與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)（如圖），向量

AB

與向量

m

=(-1，

2

)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點(diǎn)C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

已知點(diǎn)P為圓周x²+y²=4的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點(diǎn)為E，記點(diǎn)E的軌跡方程為C，點(diǎn)A（0，1）
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）且與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程；
（3）是否存在方向向量

a

=(1，k)(k≠0)的直線l，使得l與曲線C交與兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且有|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．