題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
，求數(shù)列 的前
項(xiàng)和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點(diǎn)
在
軸上，點(diǎn)
在
軸的正半軸，點(diǎn)
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點(diǎn)，又過(guò)、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對(duì)任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足：對(duì)任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
一、 A C C D A B D B A C D C
二、13. 
14. ①甲乙的平均數(shù)相同，均為85；② 甲乙的中位數(shù)相同，均為86； ③乙的成績(jī)較穩(wěn)定，甲的成績(jī)波動(dòng)性較大；…… 15.
16.
三、17（Ⅰ）
=
=
由
得，
或
由
得 
或
.
故函數(shù)
的零點(diǎn)為
和
. ……………………………………6分
（Ⅱ）由
，
得 
由
得 
.又
由
得 
，
……………………………………12分
18. 由三視圖可知：
，底面ABCD為直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2
…………3分
(Ⅱ) 當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí)CM∥平面PDA.
取PB中點(diǎn)N,連結(jié)MN，DN，可證MN∥DN且MN＝DN
∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA …………6分
(Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使得二面角A-PD-Q為
∴
同理，
，可得
=
，
解得
………………………………………12分
19. （Ⅰ）設(shè)“世博會(huì)會(huì)徽”卡有
張，由
,得=6.
故“海寶”卡有4張. 抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為
.
…………6分
（Ⅱ）
， 
的分布列為 
或
1
2
3
4
p
………………………………12分
20. （Ⅰ）證明 設(shè)
相減得 
注意到 
有
即
…………………………………………5分
（Ⅱ）①設(shè)
由垂徑定理，
即 
化簡(jiǎn)得 
當(dāng)
與
軸平行時(shí)，
的坐標(biāo)也滿足方程.
故所求的中點(diǎn)的軌跡
的方程為；
…………………………………………8分
②
假設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,1)
作直線
與有心圓錐曲線
交于
兩點(diǎn)，且P為
的中點(diǎn)，則
由于
直線
，即
，代入曲線
的方程得
即 
由 
得
.
故當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為；
當(dāng)
時(shí)，這樣的直線不存在. ………………………………12分
21. （Ⅰ）
由
得 
…………………………3分
當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)
時(shí)，
故函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
，單調(diào)減區(qū)間為
. ………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
由
得 
當(dāng)
時(shí)，當(dāng)
時(shí)，
在
處取得極大值, 
……………………………………7分
（1）
當(dāng)
時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間為
遞減 ，
（2）
當(dāng)
時(shí)， 
，
（3）
當(dāng)
時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間為遞增 ，
………………………………………12分
22. （Ⅰ）
…………………………………6分
（Ⅱ）解法1：由
，得
猜想時(shí)，一切
時(shí)
恒成立.
①當(dāng)
時(shí)，
成立.
②設(shè)
時(shí)，
，則由
得
=
時(shí)，
由①②知時(shí)，對(duì)一切，有. ………………………………10分
解法2：假設(shè)
記
，可求
故存在，使恒成立.
…………………………………10分
（Ⅲ）證法1：
，由（Ⅱ）知
…………………………………14分
證法2：
猜想
.數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時(shí)，成立
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，
成立
由①②對(duì)，成立，下同證法1。
…………………………………14分
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