已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁＜4，a_n+1=2a_n+1，且

n

i=1

1

1+ai

＜

1

2

對任意n∈N^﹡恒成立．數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足等式2（λⁿ+b_n）=2nλⁿ+a_n+1（λ＞0）．
（1）求證數(shù)列{ a_n+l}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）證明存在k∈N^﹡，使得

bn+1

bn

≤

bk+1

bk

對任意n∈N^﹡均成立．

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已知函數(shù)f（x）=x²+x及兩個正整數(shù)數(shù)列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）對任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且當n≥2時，有；又數(shù)列{c_n}滿足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n；
（3）證明存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*均成立．

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一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

B

B

A

C

B

C

二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.

9.  35         10.            11.           12. 

13.  或         14.   10          15.

三、解答題：共80分.

16題（本題滿分13分）

解：（1）要使f(x)有意義，必須，即

得f(x)的定義域為………………………………４分

�。ǎ玻┮�在上，

　　　　當時取得最大值………………………………………５分

　　　　當時，，得f(x)的遞減區(qū)間為

，遞增區(qū)間為……９分

　（３）因f(x)的定義域為，關于原點不對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù).　……………………………………………………………………１３分

17題（本題滿分13分）

解：（1）當且僅當時，方程組有唯一解.因的可能情況為三種情況………………………………3分

        而先后兩次投擲骰子的總事件數(shù)是36種，所以方程組有唯一解的概率

        ……………………………………………………………………6分

（2）因為方程組只有正數(shù)解，所以兩直線的交點在第一象限，由它們的圖像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數(shù)解的概率………………………………………………………………………13分

18題（本題滿分14分）

解：（1）因，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=45⁰，所以直線AE與平面CDE所成的角為45⁰………………………………4分（2）解法一：如圖，取AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系A―xyz.

則 ………5分

設，  

得…………9分

由，得，而是平面CDE的一個法向量，且平面CDE，

所以MN//平面CDE…………………………………………………………………………14分

解法二：設在翻轉(zhuǎn)過程中，點M到平面CDE的距離為，點N到平面CDE的距離為，則，同理

所以，故MN//平面CDE……………………………………………………………14分

解法三：如圖，過M作MQ//AD交ED于點Q，

過N作NP//AD交CD于點P，

連接MN和PQ…………………………………5分

設ㄓADE向上翻折的時間為t，則，………………7分

因，點D是CE的中點，得，四邊形ABCD為正方形，ㄓADE為等腰三角形. ……………………10分

在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=45⁰，所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP，

所以MQ//NP且MQ=NP，的四邊形MNPQ為平行四邊形，所以MN//PQ，因平面CDE，

平面CDE，所以MN//平面CDE……………………………………………………14分

19題（本題滿分14分）

解：（1）由已知得，解得：……………………2分

所求橢圓方程為………………………………………………4分

（2）因，得……………………………………7分

（3）因點即A（3，0），設直線PQ方程為………………8分

則由方程組，消去y得：

設點則……………………10分

因，得，

又，代入上式得

，故

解得：，所求直線PQ方程為……………………14分

20題（本題滿分14分）

解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為，…………2分

①當時，>0，f(x)在上遞增.………………………………4分

②當時，令得解得：

，因（舍去），故在上<0，f(x)遞減；在上，>0，f(x)遞增.…………8分

（2）由（1）知在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.

……………………………………11分

故，又因

故，得………………14分

21題（本題滿分12分）

解：（1）

解法一：由，可得

………………………………2分

所以是首項為0，公差為1的等差數(shù)列.

所以即……………………4分

解法二：因且得

，

，

，

…………………………………………………………

由此可猜想數(shù)列的通項公式為：…………2分

以下用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，，等式成立；

②假設當n=k時，有成立，那么當n=k+1時，

     成立

所以，對于任意，都有成立……………………4分

（2）解：設……①

……②

當時，①②得

…………6分

這時數(shù)列的前n項和

當時，，這時數(shù)列的前n項和

…………………………………………8分

（3）證明：因得，顯然存在k=1，使得對任意，

有成立；…………………………………………9分

①當n=1時，等號成立；

②當時，因

所以，存在k=1，使得成立……………12分