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已知點P （4，4），圓C： 與橢圓E：的一個公共點為A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓C相切。
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)D為直線PF₁與圓C 的切點，在橢圓E上是否存在點Q ，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由。

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點P（4，3），圓C：(x-m)²+y²=3(m＜3)與橢圓E：有一個公共點A（2，），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切，M，N為橢圓上異于A的兩點，
(Ⅰ)求m的值與橢圓E的方程；
(Ⅱ)若直線AM的斜率與AN的斜率互為相反數(shù)，求證：直線MN的斜率為；
(Ⅲ)在(Ⅱ)條件下△AMN面積是否存在最大值；若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

C

B

B

C

D

C

A

C

D

A

二、填空題：

13.           14.         15.     2個      16.       

三、解答題：

17.解：（1）

               ……………………3分

又         即 

                            …………………5分

（2）    

又  是的充分條件        解得     ………12分

18.由題意知，在甲盒中放一球概率為時，在乙盒中放一球的概率為  …2分

①當時，，的概率為               ………4分

②當時，，又，所以的可能取值為0，2，4

（?）當時，有，，它的概率為    ………6分

（?）當 時，有 ， 或 ，

它的概率為

（?）當時，有或

     它的概率為

故的分布列為

0

2

4

P

 的數(shù)學(xué)期望        …………12分

19.解：（1） 連接 交 于點E，連接DE， ,

 四邊形 為矩形， 點E為 的中點，

       平面                 ……………6分

（2）作于F，連接EF

，D為AB中點，，

     ,  EF為BE在平面內(nèi)的射影

又為二面角的平面角.

設(shè)     

又二面角的余弦值  ………12分

20.（1）據(jù)題意的

                        ………4分

                      ………5分

（2）由（1）得：當時，

     當時，，為增函數(shù)

    當時，為減函數(shù)

當時，      …………………………8分

當時，

當時，

當時，                   …………………………10分

綜上知：當時，總利潤最大，最大值為195  ………………12分

21.解：（1）由橢圓定義可得，由可得

，而

解得                                   ……………………4分

（2）由，得，

解得或（舍去）     此時

當且僅當時，得最小值，

此時橢圓方程為         ………………………………………8分

（3）由知點Q是AB的中點

設(shè)A,B兩點的坐標分別為，中點Q的坐標為

則，兩式相減得

      AB的中點Q的軌跡為直線①

且在橢圓內(nèi)的部分

又由可知，所以直線NQ的斜率為，

方程為②

①②兩式聯(lián)立可求得點Q的坐標為

點Q必在橢圓內(nèi)          解得

又              …………………………………12分

22.解：（1）由，得

令，有

又

（2）證明：

為遞減數(shù)列

當時，取最大值          

由（1）中知     

綜上可知

（3）

欲證：即證

即，構(gòu)造函數(shù)

當時，

函數(shù)在內(nèi)遞減

在內(nèi)的最大值為

當時，

又       

不等式成立