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設(shè)b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為y=

1

8

x2+b，如圖所示，過點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁．
（1）求點(diǎn)G和點(diǎn)F₁的坐標(biāo)（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)（x，y）處的橢圓的切線方程是．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)）若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)（x，y）處的橢圓的切線方程是．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)）若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)（x，y）處的橢圓的切線方程是．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)）若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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一、選擇題(5分×12=60分)   

    B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

二、填空題(4分x 4=16分)

  13．0.1  14．63  15．  16．①③

三、解答題(12分×5+14分=74分)

17．解：(1)2分

        ……………………4分

         ∴的最小正周期為 …………………6分(2)∵成等比數(shù)列   ∴

∴≥       ………………………8分

∵   ∴≤即 ≤

∵   ∴≤         ………………………………………………10分

18．解：(1)設(shè)公差由成等比數(shù)列得 …………………1分

∴即 ∴舍去或     …………………………3分

∴           ………………………………………………4分

又              ………………………………………………5分

∴

       ………………………………………7分

(2)                ………………………………………………8分

當(dāng)時(shí)，  ………………………………………10分

當(dāng)時(shí)，   …………………………7分

19．解：(1)記“任取2張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到偶函數(shù)”為事件A，

                ……………………………………………………4分

(2)可能值為        ……………………………………………………………5分

      …………………………10分

∴     …………………………12分

20．解：(1)連結(jié)    為正△ …1分

                                       面3分

面面          

即點(diǎn)的位置在線段的四等分點(diǎn)且靠近處  ………………………………………6分(2)過作于，連

由(1)知面(三垂線定理)

∴為二面角的平面角……9分

在中，

在中，

∴二面角的大小為     ………………………………………12分

(說明：若用空間向量解，請(qǐng)參照給分)

21．解：(1)設(shè)，由取得

則……………………2分

∴…………………………12分

又∵為定值， 則        ………………5分

∵為定值，∴為定值。

(2)∵，∴拋物線方程為：設(shè)點(diǎn)則

由(1)知 則         ………………………………8分

又∵過點(diǎn)  ∴  ∴  ∴………………………………9分

代入橢圓方程得：

∴≥  ………………11分

當(dāng)且僅當(dāng)                 即           上式取等號(hào)

∴此時(shí)橢圓的方程為：             ………………………………………12分

22．解：(1)∵  ∴…1分

    設(shè) 則  ……2分

∴在上為減函數(shù)  又   

時(shí)，，∴ ∴在上是減函數(shù)………4分(2)①∵ ∴或時(shí)

 ∴…………………………………6分

又≤≤對(duì)一切恒成立 ∴≤≤        ……………8分

②顯然當(dāng)或時(shí)，不等式成立                 …………………………9分

當(dāng)，原不等式等價(jià)于≥ ………10分

下面證明一個(gè)更強(qiáng)的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ …………………………11分

由(1) 知在上是減函數(shù)   又  ∴……12分

∴不等式②成立，從而①成立  又

∴＞

綜合上面∴≤≤且≤≤時(shí)，原不等式成立     ……………………………14分