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設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線(xiàn)分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)l：x+

3

y+3=0相切，求橢圓C的方程．

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M(

2

，1)，且左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上．

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF₂垂直的直線(xiàn)交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）若過(guò)A．Q．F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)l：x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：

1

|F2M|

+

1

|F2N|

為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．