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    題目列表(包括答案和解析)

    由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos3x,我們有
    cos3x=cos(2x+x)
    =cos2xcosx-sin2xsinx
    =(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
    =2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
    =4cos3x-3cosx
    可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
    (I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
    (II)請(qǐng)求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
    (III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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    由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.
    對(duì)于cos3x,我們有
    cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
    =(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
    =2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
    =4cos3x-3cocs.
    可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.
    一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多項(xiàng)式.
    (1)請(qǐng)嘗試求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x.
    (2)化簡(jiǎn)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.

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    由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染,現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化,水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系,可近似地表示為y=
    -
    16
    x+2
    -x+8    0≤x≤2
    4-x                  2<x≤4
    .只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí),才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
    (1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿,則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)?
    (2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí),即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿,此后,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和,求河中堿濃度可能取得的最大值.

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    由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染,現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化,水中的堿濃度y(個(gè)濃度單位)與時(shí)間x(個(gè)時(shí)間單位)的關(guān)系為y=
    -
    24
    x+3
    -x+8,   0≤x≤
    3
    2
    23
    12
    -
    1
    2
    x   ,      
    3
    2
    <x≤
    23
    6
    .只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1(個(gè)濃度單位)時(shí),才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
    (1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿,則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)?
    (2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí),即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿,此后,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是兩次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和,求河中堿濃度可能取得的最大值.

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    由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染,現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化,水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系,可近似地表示為y=.只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí),才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
    (1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿,則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)?
    (2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí),即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿,此后,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和,求河中堿濃度可能取得的最大值.

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