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已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設AC與BD交于點O，M為OC中點，若二面角O-PM-D的正切值為2，求a：b的值。

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如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在線段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

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ABCD是平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

（1）求證：平面ABCD⊥平面PAC；

（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，求tanθ的值.

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ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，試求tanθ的值．

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第Ⅰ卷

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

B

A

C

A

D

C

第Ⅱ卷

二、填空題

9、3 , ;    10、;     11、（A）; （B）；（C）();    12、0.5       13、28 ,

三、解答題

14、（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）＝

                       ＝+

                       ＝+

　　所以，的最小正周期　

(Ⅱ)

由三角函數(shù)圖象知:

的取值范圍是

15、（本小題滿分12分）

方法一：

證：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2，ABCD為正方形，

因此BD⊥AC.                    

∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，

∴BD⊥PA .                      

又∵PA∩AC=A

∴BD⊥平面PAC.                 

解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD為PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，知∠PDA為二面角P―CD―B的平面角.                      

又∵PA=AD，

∴∠PDA=45⁰ .                                                       

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2

∴PB=PD=BD=

設C到面PBD的距離為d，由，

有，                              

即，

得         

方法二：

證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.

∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴  

∵

即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC.                       

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

設平面PCD的法向量為，則，

即，∴

故平面PCD的法向量可取為                              

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.             

設二面角P―CD―B的大小為q，依題意可得，

∴q = 45⁰ .                                                      

（Ⅲ）由（Ⅰ）得

設平面PBD的法向量為，則，

即，∴x=y=z

故平面PBD的法向量可取為.                             

∵，

∴C到面PBD的距離為                          

16、（本小題滿分14分）

解：（1）設“甲射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A，則其對立事件為“4次均擊中目標”，則

（2）設“甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次”為事件B,則

（3）設“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊5次后被中止射擊,故必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次及第二次至多有一次未擊中目標。

故

17、（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由  得

即

可得

因為，所以   解得，因而

 （Ⅱ）因為是首項、公比的等比數(shù)列，故

則數(shù)列的前n項和

前兩式相減，得 

   即 

18、（本小題滿分14分）

解：(1) ,設切點為,則曲線在點P的切線的斜率,由題意知有解，

∴即.

 (2)若函數(shù)可以在和時取得極值，

則有兩個解和，且滿足.

易得.

(3)由(2)，得.

根據(jù)題意，()恒成立.

∵函數(shù)（）在時有極大值（用求導的方法），

且在端點處的值為.

∴函數(shù)（）的最大值為.  

所以.

19、（本小題滿分14分）

解：（1）∵成等比數(shù)列　∴　

設是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得

即為所求的橢圓方程.

（2）假設存在，因與直線相交，不可能垂直軸

因此可設的方程為：由

　 ①

方程①有兩個不等的實數(shù)根

∴�、�

設兩個交點、的坐標分別為　∴

∵線段恰被直線平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或

∴直線的傾斜角范圍為