Question

【題目】如圖，拋物線 與 x 軸交于點(diǎn) A、B，與 y 軸交于點(diǎn) C，且 OC＝2OB， 點(diǎn) D 為線段 OB 上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) B 重合)，過(guò)點(diǎn) D 作矩形 DEFH，點(diǎn) H、F 在拋物線上，點(diǎn) E 在 x 軸 上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)矩形 DEFH 的周長(zhǎng)最大時(shí)，求矩形 DEFH 的面積；

（3）在（2）的條件下，矩形 DEFH 不動(dòng)，將拋物線沿著 x 軸向左平移 m 個(gè)單位，拋物線與矩形 DEFH的邊交于點(diǎn) M、N，連接 M、N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面積，求 m 的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為; (2)10; (3)m的值為：

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由OC=2OB，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入 可求出a的值，即可寫(xiě)出拋物線的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，0)用含x的代數(shù)式表示出矩形DEFH的周長(zhǎng),用函數(shù)的思想求出取其最大值時(shí)x的值，即求出點(diǎn)D的坐標(biāo),進(jìn)一步可求出矩形DEFH的面積:

(3)如圖，連接BH，EH, DF.設(shè)EH與DF交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作BH的平行線，交ED于M. 交HF于點(diǎn)N,則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半，依次求出直線BH. MN的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得出m的值.

解: (1)在拋物線 中,

當(dāng)x=0時(shí), y=-4.

∴C (0,-4)

∴OC=4.

∵OC=2OB.

∴OB=2. .

∴B(2.0).

將B (2, 0)代入,得，

∴a=;

∴拋物線的解析式為

(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x, 0) ,

∵四邊形DEFH為矩形.

∴,

∵

∴拋物線對(duì)稱軸為x=-1,

∴點(diǎn)H到對(duì)稱軸的距離為x+1.

由對(duì)稱性可知DE=FH=2x+2,

∴矩形DEFH的周長(zhǎng)為：

∴當(dāng)x=1時(shí)，矩形DEFH周長(zhǎng)取得最大值13,

∴此時(shí)

∴HF=2x+2=4. DH=

∴

(3)如圖,連接BH, EH, DF.設(shè)EH與DF交于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)G作BH的平行線，交ED于M,交HF于點(diǎn)N,則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半,

由(2)知，拋物線對(duì)稱軸為x=-1, ，

∴

設(shè)直線BH的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)B (2. 0)，代入, 得,

解得

∴直線BH的解析式為.

∴可設(shè)直線MN的解析式為

將點(diǎn) 代入,得

∴直線MN的解析式為

當(dāng)y=0時(shí)，

∴

∵B(2,0)，

∴將拋物線沿著x軸向左平移個(gè)單位，拋物線與矩形DEFH的邊交于點(diǎn)M、N,連接M、N,則MN恰好平分矩形DEFH的面積,

∴m的值為：