Question

如圖，已知拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關于y軸對稱，并與y軸交于點M，與x軸交于點A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，試猜想出一般形式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0）關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式（不要求證明）；
（2）若AB的中點是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）過點M，且與拋物線y=mx²+nx+p，相交于另一點N（i，j），如果i≠j，且i²-j²-i+j=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關于y軸對稱，知關于y軸對稱x變?yōu)?x，y軸值不變，所以易得y=x²+6（-x）+5，即對稱后的表達式為y=ax²+bx+c，關于y軸對稱只要把x變?yōu)?x就可以了；
（2）首先連接BM，作CD⊥BM，垂足為D，易求得△OMB是等腰直角三角形，繼而求得CD與MC的長，則可求得答案；
（3）首先利用因式分解的知識，可得j=1-i，然后由一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）過點M，且與拋物線y=mx²+nx+p，相交于另一點N（i，j），利用待定系數(shù)法即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關于y軸對稱，
∴y=mx²+nx+p的解析式為：y=x²-6x+5；
∴一般形式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0）關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式：y=a（-x）²+b（-x）+c=ax²-bx+c；

 （2）連接BM，作CD⊥BM，垂足為D，
當y=0時，即x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0），
∵C是AB的中點，
∴C（3，0），
∴AC=BC=2，
當x=0時，y=5，
∴M（0，5），
∴OB=OM=5，
∴△OMB是等腰直角三角形，
∴∠OMB=∠OBM=45°，
∴在Rt△BCD中，CD=BC•sin45°=

2

，
在Rt△OMC中，OM=5，OC=3，
∴MC=

OM2+OC2

=

52+32

=

34

，
∴sin∠CMB=

CD

CM

=

2

34

=

17

17

；

（3）∵i²-j²-i+j=0，
即（i-j）（i+j）-（i-j）=（i-j）（i+j-1）=0，
∴i-j=0或i+j-1=0，
∵i≠j，
∴j=1-i，
∵N在y=kx+b上，
∴j=ki+b
∵M在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5，
即1-i=ki+5，
∴k=-1-

4

i

，
∵N在y=x²-6x+5上，
∴

j=i2-6i+5 j=1-i

，
解得：

i=1 j=0

或

i=4 j=-3

，
∴k=-5或k=-2．
即k的值是-5或-2．

點評：此題考查了函數(shù)的對稱性、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．