Question

（2013•衡陽）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對稱軸是x=-1．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時(shí)，滿足條件OM=PQ，據(jù)此列一元二次方程求解；
②△AON為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計(jì)算．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+k，
∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴

4a+k=0 a+k=3

，
解得：a=-1，k=4，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）²+4．

（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=

-5± 37

2

，由于t=

-5- 37

2

＜0，故舍去，
∴當(dāng)t=

37 -5

2

秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，則D為OA中點(diǎn)，OD=

1

2

OA=

1

2

，
∴t=

1

2

；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，OD=OA-AD=1-x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

1

5

，x₂=0（舍去），
∴x=

1

5

，OD=1-x=

4

5

，
∴t=

4

5

；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

10

10

，x₂=-

10

10

（舍去），
∴OD=1-x=1-

10

10

，
∴t=1-

10

10

．
綜上所述，當(dāng)t為

1

2

秒、

4

5

秒、（1-

10

10

）秒時(shí)，△AON為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．第（2）問為運(yùn)動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程，進(jìn)行分類討論計(jì)算．