Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)C與點(diǎn)D在x軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．已知直線y=-

3

4

x+

15

4

經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若直線MN為拋物線的對(duì)稱軸，E為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則是否存在以E點(diǎn)為圓心，且同時(shí)與直線MN和直線AC都相切的圓？如果存在，請(qǐng)求出⊙E的半徑；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)點(diǎn)C在x軸上，得出y=0，再把它代入直線，得出x的值，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）本題根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求出a、b的值，即可求出解析式．
（3）本題需先判斷出存在，再結(jié)合圖形分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)⊙E與直線MN和直線AC都相切時(shí)，設(shè)半徑為R，再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，得出EH、EF的長(zhǎng)，再由勾股定理得出AC的值，再由已知條件得出△ECF與△GCH相似，即可求出⊙E的半徑；再結(jié)合圖形當(dāng)在對(duì)稱軸MN的右側(cè)，同理也可求出R的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C在x軸上，
∴把y=0代入y=-

3

4

x+

15

4

，
解得：x=5．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）；

（2）∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），A的坐標(biāo)為（1，3），四邊形ABCD為矩形，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），
∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
∴

a+b=3 25a+5b=3

，
解得：a=-

3

5

；b=

18

5

．
∴y=-

3

5

x2+

18

5

x；

（3）存在．
①如圖，⊙E與直線MN和直線AC都相切，設(shè)半徑為R，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F．則EH=EF=R．
在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC=

AD2+CD2

=

32+42

=5．
依題意得：CH=DH，GH∥AD，
∴GH=

1

2

AD=

3

2

；CG=

1

2

AC=

5

2

．
∵∠CFE=∠CHG=90°，∠ECF=∠GCH，
∴△ECF∽△GCH，
∴

EF

GH

=

CE

CG

即

R

1.5

=

R+2

2.5

，
解得：R=3；
②在對(duì)稱軸MN的右側(cè)，同理可求得：R=

3

4

．
綜上，符合條件的圓心E有兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的半徑分別是3和

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要結(jié)合圖形以及二次函數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，將它們綜合起來(lái)解此題是本題的關(guān)鍵．