Question

如圖：⊙O為△ABC的外接圓，∠C=60°，過C作⊙O的切線，交AB的延長線于P，∠APC的平分線和AC、BC分別相交于D、E．
（1）證明：△CDE是等邊三角形；
（2）證明：PD•DE=PE•AD；
（3）若PC=7，S_△PCE=，求作以PE、DE的長為根的一元二次方程；
（4）試判斷E點(diǎn)是否能成為PD的中點(diǎn)？若能，請說明必需滿足的條件，同時(shí)給出證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接OC．∵PC是圓的切線．
∴∠PCO=90°．
∵∧ACB=60°，⊙O是△ABC的外接圓，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴∠PCB=∠PCO-∠BCO=60°，
∴∠PCB=∠A=∠ACB=60°
∵∠CPD=∠APD
∴△CEP∽△ADP
∴∠CEP=∠ADP
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵∠C=60°
∴△CDE是等邊三角形；

（2）證明：由（1）可知：△CEP∽△ADP
∴PD•CE=PE•AD
∵△CDE是等邊三角形
∴CE=DE
∴PD•DE=PE•AD；

（3）解：∵S_△PCE=PE•DE•sin60°=•PE•DE=，
∴PE•DE=15，
∵∠PCB=∠PDC=60°，∠CPD=∠EPC，
∴△CPD∽△EPC，
∴PC²=PE•PD=PE（PE+DE）=PE²+PE•DE=PE²+15=49，
∴PE=，
∴DE=，
PE+DE=，
∴以PE，DE為根的一元二次方程應(yīng)該是x²-x+15=0，
即：34x²-49x+510=0；

（4）解：當(dāng)AC是圓的直徑時(shí)，E是PD的中點(diǎn)．
證明：∵PC是圓的切線，AC是直徑
∴∠ACP=∠ABC=90°，∠PCE=∠A
∵∠ACB=∠DEC=60°
∴∠A=30°，∠PCE+∠EPC=60°
∵∠PCE=∠A
∴∠PCE=∠EPC=30°
∴CE=PE
∵△CDE是等邊三角形
∴CE=PE=DE
即E是PD的中點(diǎn)．
分析：（1）本題可通過證明△CEP和△APD相似，得出∠CED和∠CDE的補(bǔ)角相等，然后根據(jù)∠DCE=60°得出三角形CDE是等邊三角形的結(jié)論；
（2）本題實(shí)際上求的是△PEC和△PDA相似，由于（1）中已經(jīng)證得，那么可得出的線段的關(guān)系是PD•CE=PE•AD，由于三角形CDE是等邊三角形，因此將相等的邊置換后即可得出本題的結(jié)論；
（3）本題要求的實(shí)際是PE+DE和PE•DE的值，根據(jù)△PCE的面積我們可以用PE•DE•sin60°÷2來表示，那么可得出PE•DE的值，通過△PCE和△PDC相似可得出PC²=PE（PE+DE）=PE²+PE•DE，而PC已知，那么可得出PE的值，也就求出了DE的值，可得出PE+DE的值，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出所求的方程；
（4）若E是PD中點(diǎn)，那么PE=DE=CE，因此∠ECP=∠P=30°，那么∠ACP=90°，由于PC是圓的切線，因此AC應(yīng)該是圓的直徑．所以當(dāng)AC是圓的直徑時(shí)，E是PD的中點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及圓周角定理等知識點(diǎn)，通過得出的等邊三角形得出角和邊相等是解題的關(guān)鍵．