Question

如圖，已知拋物線y=-

4

9

(x-1)2+4，與x軸交于A、B兩點，點C為拋物線的頂點．點P在拋物線的對稱軸上，設⊙P的半徑為r，當⊙P與x軸和直線BC都相切時，則圓心P的坐標為

(1，

3

2

)或（1，-6）

．

Answer 1

分析：設P點坐標為（1，a），求出B和C點的坐標，進而求出直線BC的解析式，再求出點P到直線BC的距離，根據⊙P與x軸和直線BC都相切，列出等式求出a的值．

解答：解：設P點坐標為（1，a），
∵拋物線的解析式為y=-

4

9

(x-1)2+4，
∴拋物線頂點C的坐標為（1，4），
令y=0，解得B點的坐標為（4，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，

k+b=4 4k+b=0

，
解得k=-

4

3

，b=

16

3

，
則直線BC的解析式為y=-

4

3

x+

16

3

，
點P到直線BC的距離d=

|4+3a-16|

5

，
點P到x軸的距離為|a|，
又知⊙P與x軸和直線BC都相切時，
即

|4+3a-16|

5

=|a|，
解得a=

3

2

或a=-6．
故P點的坐標為(1，

3

2

)或（1，-6）．
故答案為(1，

3

2

)或（1，-6）．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練運用點到直線的距離公式，此題難度不大．