Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD、AD上，連接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．

（1）求(AF+1)(CE+1)的值；

（2）探究∠EBF的度數(shù)是否為定值，并說明理由；

Answer 1

【答案】（1）2；（2）∠EBF的度數(shù)為定值，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)CE=x，AF=y，先根據(jù)EF2=DE2+DF2推出xy+x+y=1，再用含和的式子表示并整體代值即得；

（2）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，證明，進而得出∠EBF=∠ABF+∠CBE即得．

解：（1）設(shè)CE=x，AF=y，則DE=1﹣x，DF=1﹣y，∵AF+CE=EF，

∴EF=x+y，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴，

∴

∴xy+x+y＝1

∴；

（2）∠EBF的度數(shù)為定值，理由如下：

如圖1，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，此時AB與CB重合．

由旋轉(zhuǎn)可得AB=BC，BF=BG，∠ABF=∠CBG，∠BCG=∠A=90°．

∴∠BCG+∠BCD=90°+90°=180°．∴點G、C、E在同一條直線上．

∵AF+CE=EF=CG+CE=EG，

∵BE=BE

∴

∴∠EBF=∠EBG=∠CBG+∠CBE=∠ABF+∠CBE，

∵∠ABC=90°，∴∠EBF=45°

∴∠EBF的度數(shù)為定值；