Question

【題目】（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°，連接AC，BD

交于點(diǎn)M．

①的值為 ；②∠AMB的度數(shù)為 °；

（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求的值及∠AMB的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M．若OD=，OB=，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①1；②50；（2），；（3）6或9

【解析】

（1）①由SAS可證△COA≌△DOB，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)，得∠CAO=∠DBO，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求解；

（2）由，，可得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3；②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，分別求出AC的長(zhǎng)，即可．

（1）①∵∠AOB=∠COD=50°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，

∴=1；

②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=50°，
∴∠OAB+∠ABO=130°，
∴在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-130°=50°，

故答案是：1 ，50；

（2）∵，，

∴，

同理，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

∴，，

∴；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，

設(shè)BD=x，則AC=x，
∵Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+(x2)2＝(2)2，即：x2-x-18=0，
解得：x1=3，x2=-2（舍去），
∴AC=3×=9；

②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，
設(shè)BD=x，則AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+（x+2）2=(2)2，即：x2+x-18=0，

解得：x1=2，x2=-3（舍去），
∴AC=2×=6；
綜上所述，AC的長(zhǎng)為9或6．

，