Question

已知二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象如圖所示．
（1）這條拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點(diǎn)C，且AB=4，⊙M過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求扇形MAC的面積；
（2）在（1）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BC分成面積比為1：2的兩部分？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可表示出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)AB=4，可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式，即可得到A、B、C的坐標(biāo)；根據(jù)B、C的坐標(biāo)，可得到∠OBC=45°，根據(jù)圓周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的長(zhǎng)易求得，即可得到半徑AM、MC的長(zhǎng)，利用扇形的面積公式，即可求得扇形AMC的面積．
（2）設(shè)PD與BC的交點(diǎn)為E，此題可分成兩種情況考慮：
①當(dāng)△BPE的面積是△BDE的2倍時(shí)，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，即DE=

1

3

PD，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么E點(diǎn)的縱坐標(biāo)是P點(diǎn)縱坐標(biāo)的

1

3

，BD的長(zhǎng)為B、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作為等量關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)△BDE的面積是△BPE的2倍時(shí)，方法同①．

解答：解：（1）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴AB=

3

m

-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=

12+32

=

10

，
∵AM=CM，
∴AM=

AC

2

=

5

，
∴R=

5

，S=

5

4

π．

（2）設(shè)PD與BC的交點(diǎn)為E，可求直線BC解析式為y=x-3，
設(shè)P（x，x²-2x-3）；當(dāng)S_△BED：S_△BEP=1：2時(shí)，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴

x=2 y=-3

或

x=3 y=0

（舍去），
∴P（2，-3）；
當(dāng)S_△PBE：S_△BED=1：2時(shí)，同理可得P（

1

2

，-

15

4

），
故存在P（2，-3）或P（

1

2

，-

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合類題目，涉及到：二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、扇形面積的計(jì)算方法以及圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度稍大．