Question

如圖，四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）如果∠B+∠C=120°，則∠AED的度數=______；（直接寫出計算結果，不必寫出推理過程）
（2）根據（1）的結論，猜想∠B+∠C與∠AED之間的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∠AED的度數=60°；（解法同（2）．）

（2）∠B+∠C=2∠AED，
理由如下：
設AE、DE與BC的交點為M、N；
△ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180°；
△ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180°；
△NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180°；
由題意AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
可知：∠BAM=∠EAD，∠EDA=∠EDC；
故∠B+∠C=（180°-∠BAM-∠NDC）+（180°-∠BMA-∠DNC）；
又∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAM-∠NDC，且∠E=180°-∠EMN-∠ENM=180°-∠BMA-∠DNC，
故∠B+∠C=2∠E．
分析：兩個小題解法一致，設BC與AE、DE的交點為M、N，分別在△AMB、△ADE、△DCN中，根據三角形內角和定理，得到三個三角形的內角和表達式，聯(lián)立三式結合角平分線的定義，即可得到∠B+∠C、∠AED之間的數量關系．
點評：此題主要考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義，由于圖中涉及的角較多，理清角之間的關系是解決問題的關鍵．