Question

23、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，點E是邊AC的中點，連接DE，DE的延長線與邊BC相交于點F，AG∥BC，交DE于點G，連接AF、CG．
（1）求證：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求證：四邊形AFCG是正方形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，再根據(jù)等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．
（2）由AAS可證△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形，進(jìn)而證得四邊形AFCG是菱形，最后根據(jù)有一個角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形．

解答：證明：（1）∵AD=CD，點E是邊AC的中點，∴DE⊥AC．
即得DE是線段AC的垂直平分線．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵點E是邊AC的中點，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
∵∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE，
∴△AEG≌△CEF．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四邊形AFCG是平行四邊形．
∵AF=CF，∴四邊形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得點F是邊BC的中點．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四邊形AFCG是正方形．

點評：本題考查的是正方形的判定方法，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的靈活運用，判別一個四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì)．