Question

【題目】如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，交于．

（1）若，，求的度數(shù)；

（2）求證：；

（3）若，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由三角形的內(nèi)心定義和同弧所對(duì)的圓周角相等即可解答；

（2）連接BE，根據(jù)三角形的內(nèi)心定義和同弧所對(duì)的圓周角相等證得∠DBE＝∠BED，從而依據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；

（3）利用已知和角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而求得BF、CF的值，再證明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于BD的方程，解之即可解答﹒

（1）∵，，

∴∠BAC=180-∠ABC-∠C=60，

∵E是內(nèi)心，

∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30，

由同弧所對(duì)的圓周角相等得：

∠CBD=∠CAD=30；

（2）證明：連接BE，

∵E是內(nèi)心，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠CBD＝∠BAD，

∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，

∴∠DBE＝∠BED，

∴ DE＝DB；

（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5

∴

∴ BF=3，CF=2

∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC

∴ △BDF∽△ACF

∴，

∴，

∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB

∴ △DBF∽△DAB

∴，

∴，

∴，又BD=DE，

∴．