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    如圖,已知拋物線y=數(shù)學公式x2+bx+c(b,c是常數(shù),且c<0)與x軸分別交于點A、B(點A位于點B的左側),與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(-1,0).
    (1)b=______,點B的橫坐標為______(上述結果均用含c的代數(shù)式表示);
    (2)連接BC,過點A作直線AE∥BC,與拋物線y=數(shù)學公式x2+bx+c交于點E,點D是x軸上的一點,其坐標為(2,0).當C,D,E三點在同一直線上時,求拋物線的解析式;
    (3)在(2)條件下,點P是x軸下方的拋物線上的一個動點,連接PB,PC,設所得△PBC的面積為S.
    ①求S的取值范圍;
    ②若△PBC的面積S為整數(shù),則這樣的△PBC共有______個.

    解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c過點A(-1,0),
    ∴0=×(-1)2+b×(-1)+c,
    ∴b=+c,
    ∵拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點A(-1,0)、B(xB,0)(點A位于點B的左側),
    ∴-1與xB是一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根,
    ∴-1•xB=,
    ∴xB=-2c,即點B的橫坐標為-2c;

    (2)∵拋物線y=x2+bx+c與y軸的負半軸交于點C,
    ∴當x=0時,y=c,即點C坐標為(0,c).
    設直線BC的解析式為y=kx+c,
    ∵B(-2c,0),
    ∴-2kc+c=0,
    ∵c≠0,
    ∴k=
    ∴直線BC的解析式為y=x+c.
    ∵AE∥BC,
    ∴可設直線AE得到解析式為y=x+m,
    ∵點A的坐標為(-1,0),
    ×(-1)+m=0,解得m=
    ∴直線AE得到解析式為y=x+
    ,解得,,
    ∴點E坐標為(1-2c,1-c).
    ∵點C坐標為(0,c),點D坐標為(2,0),
    ∴直線CD的解析式為y=-x+c.
    ∵C,D,E三點在同一直線上,
    ∴1-c=-×(1-2c)+c,
    ∴2c2+3c-2=0,
    ∴c1=(與c<0矛盾,舍去),c2=-2,
    ∴b=+c=-
    ∴拋物線的解析式為y=x2-x-2;

    (3)①設點P坐標為(x,x2-x-2).
    ∵點A的坐標為(-1,0),點B坐標為(4,0),點C坐標為(0,-2),
    ∴AB=5,OC=2,直線BC的解析式為y=x-2.
    分兩種情況:
    (Ⅰ)當-1<x<0時,0<S<S△ACB
    ∵S△ACB=AB•OC=5,
    ∴0<S<5;
    (Ⅱ)當0<x<4時,過點P作PG⊥x軸于點G,交CB于點F.
    ∴點F坐標為(x,x-2),
    ∴PF=PG-GF=-(x2-x-2)+(x-2)=-x2+2x,
    ∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=(-x2+2x)×4=-x2+4x=-(x-2)2+4,
    ∴當x=2時,S最大值=4,
    ∴0<S≤4.
    綜上可知0<S<5;

    ②∵0<S<5,S為整數(shù),
    ∴S=1,2,3,4.
    分兩種情況:
    (Ⅰ)當-1<x<0時,設△PBC中BC邊上的高為h.
    ∵點A的坐標為(-1,0),點B坐標為(4,0),點C坐標為(0,-2),
    ∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25,
    ∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC邊上的高AC=
    ∵S=BC•h,∴h===S.
    如果S=1,那么h=×1=,此時P點有1個,△PBC有1個;
    如果S=2,那么h=×2=,此時P點有1個,△PBC有1個;
    如果S=3,那么h=×3=,此時P點有1個,△PBC有1個;
    如果S=4,那么h=×4=,此時P點有1個,△PBC有1個;
    即當-1<x<0時,滿足條件的△PBC共有4個;
    (Ⅱ)當0<x<4時,S=-x2+4x.
    如果S=1,那么-x2+4x=1,即x2-4x+1=0,
    ∵△=16-4=12>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,此時P點有2個,△PBC有2個;
    如果S=2,那么-x2+4x=2,即x2-4x+2=0,
    ∵△=16-8=8>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,此時P點有2個,△PBC有2個;
    如果S=3,那么-x2+4x=3,即x2-4x+3=0,
    ∵△=16-12=4>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,此時P點有2個,△PBC有2個;
    如果S=4,那么-x2+4x=4,即x2-4x+4=0,
    ∵△=16-16=0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根,此時P點有1個,△PBC有1個;
    即當0<x<4時,滿足條件的△PBC共有7個;
    綜上可知,滿足條件的△PBC共有4+7=11個.
    故答案為+c,-2c;11.
    分析:(1)將A(-1,0)代入y=x2+bx+c,可以得出b=+c;根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,得出-1•xB=,即xB=-2c;
    (2)由y=x2+bx+c,求出此拋物線與y軸的交點C的坐標為(0,c),則可設直線BC的解析式為y=kx+c,將B點坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c;由AE∥BC,設直線AE得到解析式為y=x+m,將點A的坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+;解方程組,求出點E坐標為(1-2c,1-c),將點E坐標代入直線CD的解析式y(tǒng)=-x+c,求出c=-2,進而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2;
    (3)①分兩種情況進行討論:(Ⅰ)當-1<x<0時,由0<S<S△ACB,易求0<S<5;(Ⅱ)當0<x<4時,過點P作PG⊥x軸于點G,交CB于點F.設點P坐標為(x,x2-x-2),則點F坐標為(x,x-2),PF=PG-GF=-x2+2x,S=PF•OB=-x2+4x=-(x-2)2+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質求出S最大值=4,即0<S≤4.則0<S<5;
    ②由0<S<5,S為整數(shù),得出S=1,2,3,4.分兩種情況進行討論:(Ⅰ)當-1<x<0時,根據(jù)△PBC中BC邊上的高h小于△ABC中BC邊上的高AC=,得出滿足條件的△PBC共有4個;(Ⅱ)當0<x<4時,由于S=-x2+4x,根據(jù)一元二次方程根的判別式,得出滿足條件的△PBC共有7個;則滿足條件的△PBC共有4+7=11個.
    點評:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質,直線平移的規(guī)律,求兩個函數(shù)的交點坐標,三角形的面積,一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關系等知識,綜合性較強,有一定難度,運用數(shù)形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵.
    練習冊系列答案
    相關習題

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
    (1)求拋物線的解析式;
    (2)求直線BC的函數(shù)解析式;
    (3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
    (4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標.(可直接寫出結果)

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    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
    (1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
    (2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標.

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    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    (2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
    (1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
    (2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
    ①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
    ②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
    (1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
    (2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標.

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    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
    (1)求此拋物線的解析式;
    (2)①當x的取值范圍滿足條件
    -2<x<0
    -2<x<0
    時,y<-3;
         ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
    (3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
    (4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標.

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