Question

如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）若點D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k•DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖表可以得到，拋物線經(jīng)過的四點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)y=ax²+bx+c把其中三點的坐標(biāo)，就可以解得函數(shù)的解析式．進而就可以求出A、B、C的坐標(biāo)．
（2）易證△ADG∽△AOC，AD=2-m，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以用m表示出DG的長，再根據(jù)△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出來．因而S與m的函數(shù)關(guān)系就可以得到．
（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時，就是函數(shù)的值是最大值時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的m的值．則矩形的四個頂點的坐標(biāo)就可以求出，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線DF的解析式．就可以求出直線DF與拋物線的交點的坐標(biāo)，根據(jù)FM=k•DF，就可以表示出M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入函數(shù)就可以得到一個關(guān)于k的方程，求出k的值，判斷是否滿足函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）解法一：設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三組值代入，求出解析式y(tǒng)=

1

2

x²+x-4，
令y=0，求出x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三點的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．
解法二：由拋物線P過點（1，-

5

2

），（-3，-

5

2

）可知，
拋物線P的對稱軸方程為x=-1，
又∵拋物線P過（2，0）、（-2，-4），
∴由拋物線的對稱性可知，
點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由題意，

AD

AO

=

DG

OC

，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

（3）∵S_DEFG=12m-6m²（0＜m＜2），
∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．
當(dāng)矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，-2），F(xiàn)（-2，-2），E（-2，0），
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=

2

3

，b=-

2

3

，
∴y=

2

3

x-

2

3

，
又可求得拋物線P的解析式為：y=

1

2

x²+x-4，
令

2

3

x-

2

3

=

1

2

x²+x-4，可求出x=

-1± 61

3

．
設(shè)射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標(biāo)為

-1- 61

3

，過N作x軸的垂線交x軸于H，
有

FN

DF

=

HE

DE

=

-2- -1- 61   3

3

=

-5+ 61

9

，
點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是
k≠

-5+ 61

9

且k＞0．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，并且本題還考查了函數(shù)交點坐標(biāo)的求法．就是求函數(shù)的解析式組成的方程組．