Question

已知拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）與x軸交于不同的兩個點A（x₁，0）和點B（x₂，0）與y軸的正半軸交于點C，如果x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂），且圖象經過點（2，3）
（1）求拋物線的解析式并畫出圖象
（2）x在什么范圍內函數值y大于3且隨x的增大而增大．
（3）設（1）中的拋物線頂點為D，在y軸上是否存在點P，使得DP+BP的和最��？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設函數解析式為y=a（x²-2x-3），
把點（2，3）代入y=a（x²-2x-3）得，a（2²-2×2-3）=3，
解得a=-1，
故函數解析式為y=-x²+2x+3，
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
故函數與x軸的交點坐標為A（-1，0）和點B（3，0），
當x=0時，y=-3，函數與y軸的交點為（0，-3），
又因為函數圖象對稱軸為x=-=1，
將x=1代入解析式得，y=-1+2+3=4，
則函數頂點坐標為（1，4）．如圖：

（2）由圖可知，0＜x＜1時，y大于3且隨x的增大而增大．

（3）作B關于y軸的對稱點B′則B′坐標為（-3，0），連接DB′，
設DB′的解析式為y=kx+b，
將（1，4），（-3，0）分別代入解析式得，
，
解得，
則函數解析式為y=x+3．
當x=0時，y=3，
則P點坐標為（0，3）．
分析：（1）根據二次函數與一元二次方程的關系可知，方程x²-2x-3=0的兩個根即為函數與x軸的交點橫坐標，利用待定系數法列出函數解析式，將（2，3）代入解析式，求出系數即可，根據函數解析式求出函數圖象的頂點坐標，再求出與坐標軸的交點坐標即可畫出函數圖象．
（2）根據圖象直接解答即可．
（3）作B關于y軸的對稱點B′則B′坐標為（-3，0），連接DB′，設DB′的解析式為y=kx+b，求出函數解析式，與y軸交點坐標即為P點坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、軸對稱最短路徑問題及函數與坐標軸的交點等問題．要注意數形結合．